Поскольку равенство симметрично, можно без ограничения общности считать, что x ≤ y ≤ z. Положим y = x + k, а z = x + m, где k и m - неотрицательные целые. Тогда 4(x + y + z) = xy + yz + zx => 4(x + x + k + x + m) = x*(x + k) + x*(x + m) + (x + k)*(x + m) => 4(3x + k + m) = x^2 + kx + x^2 + mx + x^2 + mx + kx + km => 12x + 4(k + m) = 3x^2 + 2x(k + m) + km => 3x^2 + 2x(k + m) - 12x + km - 4(k + m) = 0 => 3x^2 + (2(k + m) - 12)x + km - 4(k + m) = 0. Получили квадратное относительно x уравнение. Находим дискриминант: D = (2(k + m) - 12)^2 - 12(km - 4(k + m)) = 4k^2 + 4km + 4m^2 - 48k - 48m + 144 - 12km + 48k + 48m = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144. Поскольку x у нас натуральное, дискриминант должен являться полным квадратом. Сразу видим, что поскольку 4k^2 + 4m^2 - 8km = 4(k^2 + m^2 - 2km) = 4(k - m)^2, то при k = m, D = 144. Тогда наше решение будет x(1,2) = -((2(k + m) - 12) ± √144)/6, отсюда x1 = (12 + 12 - 2(k + m))/6 = (24 - 2(k+m))/6 = (24 - 4k)/6. Отсюда видно, что x1 будет натуральным при k = 0 и k = 3. Его значения будут равны соответственно x1 = 4 и x1 = 2. Второй корень x2 = (12 - 12 - 2(k + m))/6 = -(k + m)/3 отрицательный и нам не подходит. Тогда, в случае k = m, имеем следующие наборы возможных решений (x, y, z) = (4, 4, 4), (x, y, z) = (2, 5, 5). Непосредственной проверкой убеждаемся, что решение (2, 5, 5) нам не подходит. Т. о. в случае, когда k = m имеем одно решение x = y = z = 4. Обратимся снова к дискриминанту: D = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144. Пусть теперь k ≠ m. Рассмотрим выражение 4k^2 + 4m^2 - 8km = 4(k^2 + m^2 - 2km) = 4(k - m)^2 = 4(k - m)*(k - m). Как было сказано выше, D в нашем случае должен являться полным квадратом. Т. е. D = 4(k - m)*(k - m) + 144 = a^2 => 4(k - m)*(k - m) = a^2 - 144 = (a - 12)*(a + 12). Отсюда имеем всего одну возможность: a - 12 = k - m и a + 12 = 4(k - m) = 4(a - 12) => 4a - a = 48 + 12 => 60 = 3a => a = 60/3 = 20. Т. о. дискриминант D = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144 = 20^2 = 400 => 4(k^2 + m^2 - 2km) + 144 = 400 => 4(k^2 + m^2 - 2km) = 256 => k^2 + m^2 - 2km = 256/4 = 64 => (k - m)^2 = 64 => k - m = 8 и k = m + 8. Т. о. при неотрицательных целых m, нам подходят k = m + 8. Ввиду симетрии уравнения, обратное ведет к одинаковым решениям. Общее решение имеет вид x(1,2) = -((2(k + m) - 12) ± √400)/6. Рассмотрим граничные значения k и m, при которых дискриминант остается неотрицательным. D ≥ 0 при |12 - 2(k + m)| ≤ 20. Этому условию соответствуют пары (k, m) = (8, 0), (9, 1), (10, 2), (11, 3) и (12, 4). Соответствующие значения x будут 16/6, 2, 8/6, 2/3 и 0. Из этих значений x нам подходит лишь одно x = 2. При x = 2, y = x+ k = 2 +9 = 11, z = x + m = 2 + 1 = 3 и мы получаем тройку (x, y, z) = (2, 11, 3). Проверим это решение. Левая часть уравнения 4(x + y + z) = xy + yz + zx является четным числом, тогда как правая при нечетных y и z будет нечетной. Следовательно, данное решение нам не подходит. Т. о. получаем, что единственным решением данного уравнения является тройка чисел (x, y, z) = (4, 4, 4).
ответ: (x, y, z) = (4, 4, 4).
Поскольку равенство симметрично, можно без ограничения общности считать, что x ≤ y ≤ z. Положим y = x + k, а z = x + m, где k и m - неотрицательные целые. Тогда 4(x + y + z) = xy + yz + zx => 4(x + x + k + x + m) = x*(x + k) + x*(x + m) + (x + k)*(x + m) => 4(3x + k + m) = x^2 + kx + x^2 + mx + x^2 + mx + kx + km => 12x + 4(k + m) = 3x^2 + 2x(k + m) + km => 3x^2 + 2x(k + m) - 12x + km - 4(k + m) = 0 => 3x^2 + (2(k + m) - 12)x + km - 4(k + m) = 0. Получили квадратное относительно x уравнение. Находим дискриминант: D = (2(k + m) - 12)^2 - 12(km - 4(k + m)) = 4k^2 + 4km + 4m^2 - 48k - 48m + 144 - 12km + 48k + 48m = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144. Поскольку x у нас натуральное, дискриминант должен являться полным квадратом. Сразу видим, что поскольку 4k^2 + 4m^2 - 8km = 4(k^2 + m^2 - 2km) = 4(k - m)^2, то при k = m, D = 144. Тогда наше решение будет x(1,2) = -((2(k + m) - 12) ± √144)/6, отсюда x1 = (12 + 12 - 2(k + m))/6 = (24 - 2(k+m))/6 = (24 - 4k)/6. Отсюда видно, что x1 будет натуральным при k = 0 и k = 3. Его значения будут равны соответственно x1 = 4 и x1 = 2. Второй корень x2 = (12 - 12 - 2(k + m))/6 = -(k + m)/3 отрицательный и нам не подходит. Тогда, в случае k = m, имеем следующие наборы возможных решений (x, y, z) = (4, 4, 4), (x, y, z) = (2, 5, 5). Непосредственной проверкой убеждаемся, что решение (2, 5, 5) нам не подходит. Т. о. в случае, когда k = m имеем одно решение x = y = z = 4. Обратимся снова к дискриминанту: D = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144. Пусть теперь k ≠ m. Рассмотрим выражение 4k^2 + 4m^2 - 8km = 4(k^2 + m^2 - 2km) = 4(k - m)^2 = 4(k - m)*(k - m). Как было сказано выше, D в нашем случае должен являться полным квадратом. Т. е. D = 4(k - m)*(k - m) + 144 = a^2 => 4(k - m)*(k - m) = a^2 - 144 = (a - 12)*(a + 12). Отсюда имеем всего одну возможность: a - 12 = k - m и a + 12 = 4(k - m) = 4(a - 12) => 4a - a = 48 + 12 => 60 = 3a => a = 60/3 = 20. Т. о. дискриминант D = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144 = 20^2 = 400 => 4(k^2 + m^2 - 2km) + 144 = 400 => 4(k^2 + m^2 - 2km) = 256 => k^2 + m^2 - 2km = 256/4 = 64 => (k - m)^2 = 64 => k - m = 8 и k = m + 8. Т. о. при неотрицательных целых m, нам подходят k = m + 8. Ввиду симетрии уравнения, обратное ведет к одинаковым решениям. Общее решение имеет вид x(1,2) = -((2(k + m) - 12) ± √400)/6. Рассмотрим граничные значения k и m, при которых дискриминант остается неотрицательным. D ≥ 0 при |12 - 2(k + m)| ≤ 20. Этому условию соответствуют пары (k, m) = (8, 0), (9, 1), (10, 2), (11, 3) и (12, 4). Соответствующие значения x будут 16/6, 2, 8/6, 2/3 и 0. Из этих значений x нам подходит лишь одно x = 2. При x = 2, y = x+ k = 2 +9 = 11, z = x + m = 2 + 1 = 3 и мы получаем тройку (x, y, z) = (2, 11, 3). Проверим это решение. Левая часть уравнения 4(x + y + z) = xy + yz + zx является четным числом, тогда как правая при нечетных y и z будет нечетной. Следовательно, данное решение нам не подходит. Т. о. получаем, что единственным решением данного уравнения является тройка чисел (x, y, z) = (4, 4, 4).
ответ: (x, y, z) = (4, 4, 4).
tippen.
2.Soll ich dieses Formular ausfüllen?
1. Die Firma hat eine Anfrage über Preislisten gemacht.
2. Was ist passiert? Warum antworten Sie nicht auf unsere Anfrage?
6. Ich will das Zimmer heute bezahlen, bezahle auch du dein
Zimmer.
7. Man muss das Anmeldeformular richtig
ausfüllen: zuerst muss man den Namen schreiben, dann schreibe ich den Vornamen.
8. Das Zimmer im Hotel gefällt mir sehr. Es ist
gemütlich, in der Ecke steht ein Fernseher, in der Mitte steht ein Tisch und an
der Wand rechts steht ein Bett.