Question

Составить уравнение касательной и нормали к кривой (4-x)y^2=x^3y в точке х=2

Answer 1

Уравнение касательной:
$y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)$
Уравнение нормали:
$y-y_0=-\frac1{y'(x_0)}(x-x_0)$
$(4-x)y^2=x^3y \\(4-x)y=x^3\\y=\frac{x^3}{4-x}\\y_0=y(x_0)=y(2)=\frac{2^3}{4-2}=\frac82=4\\y'=\frac{3x^2(4-x)+x^3}{(4-x)^2}=\frac{-2x^3+12x^2}{(4-x)^2}\\y'(x_0)=y'(2)=\frac{-2\cdot(2)^3+12\cdot(2)^2}{(4-2)^2}=\frac{-16+48}4=\frac{32}4=8$
$y-4=8(x-2)\\y-4=8x-16\\8x-y-12=0$
 - уравнение касательной.
$y-4=-\frac18(x-2)\\8y-32=-x+2\\x+8y-34=0$
- уравнение нормали.