Справочник
Тригонометрия
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Как работает сервис
Наши социальные сети
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Содержание:
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Угол поворота
Числа
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (
sin
α
) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (
cos
α
) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (
t
g
α
) - отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (
c
t
g
α
) - отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от
−
∞
до
+
∞
.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Угол поворота
Начальная точка
A
с координатами (
1
,
0
) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол
α
и переходит в точку
A
1
. Определение дается через координаты точки
A
1
(
x
,
y
).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота
α
- это ордината точки
A
1
(
x
,
y
).
sin
α
=
y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота
α
- это абсцисса точки
A
1
(
x
,
y
).
cos
α
=
х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота
α
- это отношение ординаты точки
A
1
(
x
,
y
) к ее абсциссе.
t
g
α
=
y
x
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота
α
- это отношение абсциссы точки
A
1
(
x
,
y
) к ее ординате.
c
t
g
α
=
x
y
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (
0
,
1
) и (
0
,
−
1
). В таких случаях выражение для тангенса
t
g
α
=
y
x
просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов
α
.
Тангенс определен для всех углов, кроме
α
=
90
°
+
180
°
⋅
k
,
k
∈
Z
(
α
=
π
2
+
π
⋅
k
,
k
∈
Z
)
Котангенс определен для всех углов, кроме
α
=
180
°
⋅
k
,
k
∈
Z
(
α
=
π
⋅
k
,
k
∈
Z
)
При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота
α
". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Sквадрата=a²=36
a= 6 см
Sпрям=a*b=36см кв
a=18 b=2 P=2(18+2)=40
a=9 b=4 P=2(9+4)=26
a=1 b=36 P=2(1+36)=74
a=3 b=12 P=2(3+12)=30
Pтреуг=3*a=30 см
a=10 см
2 задание выполни деление с остатком и проверку: 1436:9, 7365:8, 3506:7, 7251:5.
1436:9= 159 ост 5 6*159+5=1436
7365:8=920 ост 5 8*920+5=7365
3506:7 = 500 ост 6 7*500+6=3506
7251:5= 1450 ост 1 4*1450+1=7251
3 задание решите примеры
8070х600=807*6*1000=4842*1000=4842000
, 9800х30, = 98*3*1000=294*1000=924000
5010-15900:100+786, = 5010-159+786=4851+786=5637
30200-7020:10х3+68=30200-702*3+68=30200-. 2106+68=28094+68=28162
решите все задания и в задание 3 в последних двух примерах решите по действиям. Для тех кто незнает х-это умножение)) Ставлю самый большой за решение.