Question

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см а двухгранный угол при основании равен 60 найти объем пирамиды

Answer 1

Опустим высоту BC (см.рис.). Треугольник ABC - прямоугольный, т.к. BC - высота, AB = 4 см, угол A = 60 градусов. Причём AC - радиус вписанной в основание окружности, т.к. основание - правильный треугольник, а пирамида правильная (вершина проецируется в центр основания).
Из тр-ка ABC по определениям синуса и косинуса
$\sin A=\frac{BC}{AB}\Rightarrow BC=AB\cdot\sin A=4\cdot\frac{\sqrt3}2=2\sqrt3\\\cos A=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AC=AB\cdot\cos A=4\cdot\frac12=2$
Площадь основания
$S=3\sqrt3r^2=3\sqrt3\frac14=\frac{3\sqrt3}4$
Найдём объём пирамиды:
$V=\frac13Sh=\frac13\cdot\frac{3\sqrt3}4\cdot2\sqrt3=\frac32=1,5$