Поскольку 
, то треугольники MAN и BAC подобны. Значит MN параллелен BC ⇔ BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Следовательно, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O равно искомому отношению диаметров окружностей, что равно отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна диаметру описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к соответствующему пути. Получили, что искомое отношение радиусов равно отношению 
. Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По теореме Менелая: 
, Значит 
; ответ: 7:1
Число тем меньше, чем меньше количество цифр, используемое для записи числа, значит, в числе должно быть минимальное возможное число цифр. Пусть все цифры числа - 9. Даже в таком случае число должно использовать хотя бы 12 цифр для записи. Если два числа имеют одинаковое количество цифр, то меньше то, чья первая цифра меньше. Значит, все цифры, кроме первой, должны равняться 9, чтобы первая цифра была как можно меньше. Тогда наименьшее натуральное число с суммой цифр 101 - 299999999999 (11 девяток). Действительно, данное число имеет сумму цифр 101 (2 + 9 * 11 = 101).
ответ: 299999999999 (11 девяток).
