Треугольник ABCABC является остроугольным, так как 62<42+5262<42+52. Отсюда следует, что основания высот находятся на сторонах, а не на их продолжениях. Опустим высоту AA1AA1, и пусть она делит отрезок BCBC на части длиной xx и yy. С одной стороны, x+y=5x+y=5. С другой стороны, ввиду теоремы Пифагора, применённой к треугольникам ACA1ACA1 и ABA1ABA1 с общей высотой, 62−x2=AA21=42−y262−x2=AA12=42−y2. Следовательно, x2−y2=20x2−y2=20, то есть x−y=20/5=4x−y=20/5=4, откуда x=9/2x=9/2 и y=1/2y=1/2. Последнее означает, что K=A1K=A1, то есть треугольник ABKABK прямоугольный, и центр описанной около него окружности является серединой гипотенузы ABAB.Теперь опустим высоту BB1BB1, и тем же методом найдём CB1=15/4CB1=15/4, B1A=9/4B1A=9/4. Из этого следует, что MB1=15/4−27/8=3/8MB1=15/4−27/8=3/8, что составляет 1/101/10 от CB1CB1. Точно так же, KBKB составляет 1/101/10 от CBCB. Из этого можно сделать вывод, что прямые KMKM и BB1BB1 параллельны, а потому треугольник AKMAKM также прямоугольный. И центр описанной около него окружности есть середина гипотенузы AKAK.Таким образом, dd есть длина средней линии треугольника ABKABK, откуда d=BK/2=1/4d=BK/2=1/4.
1. Вычисляем координаты вершин, подставляя значения для a и b. A(1;-14), B(5;-5), C(0;12) 2. Будем искать углы треугольника, как углы между парами векторов, совпадающих со сторонами треугольника. Для этого определим соответствующие векторы. Для векторов я буду использовать подчеркивание вместо надчеркивания (знака вектора) Угол А образован векторами АВ и АС. Определим эти векторы. AB(5-1;-5+14) ⇒ AB(4,9); AC(0-1;12+14) ⇒ AC(-1;26) Угол B образован векторами BA и BC. Определим эти векторы. BA(1-5;-14+5) ⇒ BA(-4;-9) - заметим, что координаты BA получились с обратными знаками по отношению к AB - это пригодится, чтобы меньше вычислять в дальнейшем. BC(0-5;12+5) ⇒ BC(-5;17) Угол С образован векторами CA и CB. Определим эти векторы. CA(1;-26) - ранее AC уже был определен. CB(5;-17) - ранее BC уже был определен. 3. Косинус угла между векторами u и v определяется по формуле Определяем угол А. Вычислим скалярное произведение AB×AC = 4×(-1)+9×26 = 230 Вычислим длины этих векторов, получим √(4²+9²)=√97 и √((-1)²+26³)=√677 Тогда cos(A)=230/√(97×677) = 0.898; A=26.1 град Аналогично найдем BA×BC = (-5)×(-4)-9*17 = -133 Длины векторов составят √((-4)²+(-9)²)=√97 и √((-5)²+17²)=√314 cos(B)=-133/√(97*314) = -0.76; B=139.6 град Для определения угла С получаем СA×CB = 1×5+(-26)×(-17) = 447 Длины этих векторов совпадают с длинами уже найденных, противоположно направленных векторов и составляют √677 и √314 cos(C)=447/√(677×314) = 0.97; C=14.2 град.
Проверка: найдем сумму всех трех полученных углов: 26.1+139.6+14.2=180.
Б) 8 4/9
В) 11 2/15
Г) 14 1/10
Д) 3 1/20
Е) 10 1/14