Question

Найдите интервалы монотонности функции y=x^2*(x-3)

Answer 1

Функция y=x^2*(x-3):
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x^2*(x-3). 
Результат: y=0. Точка: (0, 0)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:x^2*(x-3) = 0. Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:
x=0. Точка: (0, 0)x=3. Точка: (3, 0)Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=x^2 + 2*x*(x - 3)=0.
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=0. Точка: (0, 0)x=2. Точка: (2, -4)Интервалы возрастания и убывания функции:Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:2Максимумы функции в точках:0Возрастает на промежутках: (-oo, 0] U [2, oo)Убывает на промежутках: [0, 2]Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, 
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=6*x - 6=0.
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=1. Точка: (1, -2)Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: [1, oo)Выпуклая на промежутках: (-oo, 1