Question

1. что называется областью значения функции? 2. какая функция называется чётной? нечётной? 3. каким свойством обладает график чётной функции? нечётной функции? 4. какая функция называется периодической?

Answer 1

1) Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения .
Область значений функции обозначают как E(f)

2)Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

f(x) = x — пример нечётной функции.

f(x) = x^2 — пример чётной функции.

f(x) = x^3, нечётная

f(x) = x^3+1 ни чётная, ни нечётная.Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат).Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат).Ни чётная ни нечётная функция (функция общего вида) — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения X \subset \mathbb{R}, например, отрезка или интервала.Функция f называется чётной, если справедливо равенствоf(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.Функция f:X \to \mathbb{R} называется нечётной, если справедливо равенствоf(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (или функциями общего вида).

3) Свойства
График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ ФУНКЦИИ [odd and even function] — четной функция называется тогда, когда для любых двух различных значений ее аргумента f (-x)= f(x), напр., y = |x|; нечетной называется такая функция, когда f(–x) = –f(x), напр., y = x2n+1, где n — любое натуральное число. Функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, обычно называются аморфными. График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной — относительно начала координат О

4)Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T \ne 0, что выполнены следующие два условия:
если x \in D(f), то x + T \in D(f) и x - T\in D(f);
для любого x \in D(f) f(x) = f(x + T) = f(x -T).
Число T при этом называется периодом функции y= f(x).
Если числа T_1  и T_2  являются периодами функции f, то и их сумма T_1  + T_2 \;(T_1  \ne  - T_2) и разность T_1  - T_2 \;(T_1  \ne T_2 ) также являются периодами функции f.
Следствие. Если T_0  — период функции f, то число T = nT_0 , где n \in \mathbb{Z},\;n \ne0, — также период этой функции.

Answer 2

1. Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в результате ее применения. 2. Нечётными и чётными называются функции , графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. функция f (x ) = x n чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно. 3. А) Сумма четных функций является четной функцией. Сумма нечетных функций является нечетной функцией. Б) Если функция f четна, то и функция 1/ f четна. Если функция f нечетна, то и функция 1/ f нечетна. В) Произведение двух четных функций является четной функцией. Произведение двух нечетных функций тоже является четной функцией. Г) Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией. Д) Производная четной функции нечетна, а нечетной — четна. 4. Периоди́ческая фу́нкция ― функция , повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа ( пери́ода функции) на всей области определения.