Question

Когда уравнение x^2+2(m+1)x+9=0 имеет 2 различных корня x1> 0 x2> 0

Answer 1

Для того, чтобы квадратное уравнение имело 2 корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным
$D=4(m+1)^2-36=4m^2+8m-320$
Для того, чтобы корни были ещё и положительными, нужно, чтобы выполнялось неравенство $x_{1,2}=\frac{-2(m+1)\pm(4m^2+8m-32)}{2}0$
Знаменатель положителен, значит его можно отбросить. Получаем систему неравенств:
$\begin{cases}4m^2+8m-320\\-2(m+1)+(4m^2+8m-32)0\\-2(m+1)-(4m^2+8m-32)0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4m^2+8m-320\\4m^2+6m-340\\4m^2+10m-30<0\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}m^2+2m-80\\2m^2+3m-170\\2m^2+5m-15<0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(m+4)(m-2)0\\2\left(m+\frac{3-\sqrt{145}}2\right)\left(m+\frac{3+\sqrt{145}}2\right)0\\2\left(m+\frac{5-\sqrt{145}}2\right)\left(m+\frac{5+\sqrt{145}}2\right)<0\end{cases}\\$
$\begin{cases}m\in(-\infty;\;-4)\cup(2;\;+\infty)\\m\in\left(-\infty;\;-\frac{3+\sqrt{145}}2\right)\cup\left(-\frac{3-\sqrt{145}}2;\;+\infty\right)\\m\in\left(-\infty;\;-\frac{5+\sqrt{145}}2\right)\cup\left(-\frac{5-\sqrt{145}}2;\;+\infty\right)\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow m\in\left(-\infty;\;-\frac{5+\sqrt{145}}2\right)\cup\left(-\frac{3-\sqrt{145}}2;\;+\infty\right)$