Question

Втреугольнике abc вписана окружность и еще 3 окружности радиусов r1,r2,r3 так что они попарно касаются сторон треугольника и данной окружности найти ее радиус

Answer 1

Для начало обозначим вершины треугольника как $A,B,C$ . 
Обозначим центр большей и меньших треугольников соответственно $O,O_{1};O_{2};O_{3}$ . так же радиусы $R;R_{1};R_{2};R_{3}$. 
Опустим три радиуса из вписанной окружности на все стороны , как известно радиус перпендикулярен касательной.  
Обозначим проекций радиуса на сторону $AC- B_{1}\\ BC- A_{1}\\ AB-C_{1}$.  
Из этого следует что отрезки 
$AC_{1}=AB_{1}\\ BC_{1}=BA_{1}\\ CA_{1}=CB_{1}$
  Потому что отрезки касательных проведенные к окружности с одной точки равны .
 Проведем биссектрисы из каждой вершины , они будут пересекаться в одной точке и это точка $O$.
 Обозначим проекций маленьких окружностей на стороны $J,T,N$. 
Тогда очевидно мы получим трапецию у которой основания есть радиусы соответственных окружностей, всего трапеций 3. 
То есть трапеций $OO_{1}JA_{1}\\ OO_{2}TA_{1}\\ OO_{3}NB_{1}$ .
Из каждой трапеций можно выразит по тереме Пифагора боковую сторону прямоугольной трапеций . 
Они будут равны $\sqrt{(R_{1}+R)^2-(R-R_{1})^2}=2\sqrt{RR_{1}}\\ \sqrt{(R_{2}+R)^2-(R-R_{2})^2}=2\sqrt{RR_{2}}\\ \sqrt{(R_{3}+R)^2-(R-R_{3})^2}=2\sqrt{RR_{3}}\\$
 Заметим так же что треугольники  $CO_{1}J\\ BO_{2}T\\ AO_{3}N$ будут подобны , большим прямоугольным треугольникам .  Откуда из подобия получим 
   $\frac{CJ}{CJ+2\sqrt{RR_{1}}}=\frac{R_{1}}{R}\\ CJR=R_{1}CJ+2R_{1}\sqrt{RR_{1}}\\ CJ=\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}$
 И так все стороны.  Достаточно найти эти три отрезка и просуммировать , так как  отрезки касательных равны. В итоге получим 
 $BC=2\sqrt{RR_{1}}+\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}+2\sqrt{RR_{2}}+\frac{2R_{2}*\sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}}$
$AC=2\sqrt{RR_{1}}+\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}} + 2\sqrt{RR_{3}}+\frac{2R_{3}\sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}}$
 $AB=2\sqrt{RR_{2}}+\frac{2R_{2}\sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}} + 2\sqrt{RR_{3}}+\frac{2R_{3}\sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}}$
Теперь зная  стороны , по формуле  $S=pr\\r=\frac{S}{p}$
Я там все упростил и доделал , весьма сложные преобразований вышло но в итоге ответ такой вышел $R=\sqrt{R_{1}R_{2}}+\sqrt{R_{2}R_{3}}+\sqrt{R_{1}R_{3}}$