Question

Докажите тождество: cos 2a/sin a cos a +sin^2 a=ctg a-1​

Answer 1

Для начала, давайте разложим левую часть тождества.

cos 2a = cos^2 a - sin^2 a

Исходя из этого, наше тождество можно переписать следующим образом:

(cos^2 a - sin^2 a) / (sin a cos a) + sin^2 a = ctg a - 1

Теперь рассмотрим числитель нашего дробного выражения:

cos^2 a - sin^2 a = (cos a + sin a)(cos a - sin a)

Теперь вернемся к нашему тождеству и подставим этот результат:

[(cos a + sin a)(cos a - sin a)] / (sin a cos a) + sin^2 a = ctg a - 1

Сократим sin a нашей дроби:

(cos a + sin a)(cos a - sin a) / cos a + sin a = ctg a - 1

Теперь применим формулу tan a = sin a / cos a:

(cos a + sin a)(cos a - sin a) / cos a + sin a = (sin a / cos a) - 1

Домножим обе части выражения на (cos a + sin a):

cos a - sin^2 a = sin a - cos a

cos a - sin^2 a + cos a = sin a

2 cos a - sin^2 a = sin a

Теперь перепишем это выражение:

2 cos a = sin a + sin^2 a

Теперь вспомним, что ctg a = cos a / sin a:

ctg a = cos a / sin a

Теперь подставим полученное выражение в наше тождество:

2 ctg a sin a = sin a + sin^2 a

Вынесем sin a за скобки:

2 ctg a sin a = sin a(1 + sin a)

Разделим обе части на sin a:

2 ctg a = 1 + sin a

Теперь вычтем 1 из обеих частей:

2 ctg a - 1 = sin a

Таким образом, мы получили правую часть тождества. Это доказывает, что левая и правая части тождества равны, и тождество доказано.