Question

Даны нат числа от 1 до n n-четное найдите сумму произведений чисел симетричных относительно середины например для чисел от 1 до 9 это сумма 9*1+8*2+7**6

Answer 1

Пусть $n$ некое число , так как оно четное то получим конечное число пар . 
  Воспользуемся тем что сумма крайних  членов равна то есть 
$1;2;3;4;5;6;7;8;\\ 1+8=2+7=3+6=4+5$
 тогда  каждый член суммы можно записать как 
 $1*8=\frac{(1+8)^2-(1^2+8^2)}{2}$ и так далее выражая все члены и сумимируя , получим четверть всех пар, а так как по известной формуле    
 $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+...n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ то есть наша сумма в итоге будет равна 
 $S=\frac{n}{4}*(n+1)^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}=\frac{3n(n+1)^2-n(n+1)(2n+1)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{12}$