Обозначим точку касания на стороне LM буквой С, а отрезок КВ = х. По свойству вписанной окружности: KB = KA = x, BM = CM = 5, AL = CL = 10. Отсюда имеем сторону LM = 15. По теореме косинусов: cos K = (x+10)²+(x+5)²-15²/(2*(x+10)(x+5) = 1/26 (по заданию). После раскрытия скобок, приведения подобных и сокращения получаем квадратное уравнение: х²+15х-54 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=15^2-4*1*(-54)=225-4*(-54)=225-(-4*54)=225-(-216)=225+216=441;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√441-15)/(2*1)=(21-15)/2=6/2=3;x_2=(-√441-15)/(2*1)=(-21-15)/2=-36/2=-18. этот корень отбрасываем.
Теперь известны все стороны треугольника: KL = 13, LM = 15, KM = 8. Mожно найти заданный косинус угла LMK. cos LMK = (15²+8²-13²)/(2*15*8) = (225+64-169)/240 = 120/240 = 1/2. Угол LMK равен arc cos(1/2) = 60°.
Діагоналі ромба ділять ромб на чотири одинакові прямокутні трикутники, тому площу ромба можна знайти вирахувавши площу одного з трикутників і помножити його на чотири, тобто знайшовши площу усіх цих чотирьох трикутників. Розглянемо трикутник AOB Оскільки квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу, то Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжини висоти проведеної до цієї сторони
