Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^2 +25/x на отрезке [1; 12]

Answer 1

Чтобы найти наименьшее значение функции y=x^2 + 25/x на отрезке [1; 12], мы должны первым делом найти точки экстремума функции на данном отрезке.

Для этого нам нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Давайте найдем производную функции y=x^2 + 25/x:
y' = 2x - 25/x^2

После нахождения производной, приравняем ее к нулю:
2x - 25/x^2 = 0

Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от дроби:
2x^3 - 25 = 0

Теперь решим полученное уравнение относительно x:
2x^3 = 25
x^3 = 25/2
x = (25/2)^(1/3)

Таким образом, мы нашли одну точку экстремума функции на отрезке [1; 12].

Теперь нужно проверить значения функции в крайних точках отрезка [1; 12] и точке экстремума (25/2)^(1/3), чтобы найти точку с наименьшим значением.

Подставим значения x в функцию y=x^2 + 25/x:
y(1) = 1^2 + 25/1 = 1 + 25 = 26
y(12) = 12^2 + 25/12 = 144 + 25/12 = 156 + 25/12 = 156(12/12) + 25/12 = (1872+25)/12 = 1897/12

Таким образом, получаем y(1) = 26 и y(12) = 1897/12.

Теперь подставим значение x = (25/2)^(1/3) в функцию:
y((25/2)^(1/3)) = ((25/2)^(1/3))^2 + 25/((25/2)^(1/3)) = (25/2)^(2/3) + 25/(25/2)^(1/3) = 25^(2/3) / 2^(2/3) + 25 * 2^(1/3) / 25^(1/3) = (5^(2/3) / 2^(2/3)) * (5/2) + (5 * 2^(1/3) / 5^(1/3)) = (5 * 5/2) + (10^(1/3) * 5) = 25/2 + 5 * 10^(1/3)

Таким образом, мы нашли значение функции в точке экстремума.

Теперь сравним все полученные значения:
26, 1897/12 и 25/2 + 5 * 10^(1/3)

Чтобы найти наименьшее значение, достаточно сравнить все значения и выбрать наименьшее:

26 < 1897/12 < 25/2 + 5 * 10^(1/3)

Таким образом, наименьшее значение функции y=x^2 + 25/x на отрезке [1; 12] равно 26.