Question

Найти точки экстремума и экстремумы f(x)=x2-3/x-2

Answer 1

Хорошо, давайте решим эту задачу по поиску точек экстремума функции f(x)=x^2 - 3/(x-2).

1. Найдем производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования суммы и произведения функций:
f'(x) = (2x) - (-3(x-2)^(-2))
= 2x + 3/(x-2)^2

2. Найдем значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для этого приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
2x + 3/(x-2)^2 = 0

3. Упростим уравнение:
2x(x-2)^2 + 3 = 0

4. Поместим уравнение в общий знаменатель и упростим его:
2x(x-2)^2 + 3 = 0
2x(x-2)^2 + 3(x-2)^2 = 0
(2x + 3)(x-2)^2 = 0

5. Решим полученное уравнение:
a) (2x + 3) = 0
2x = -3
x = -3/2

b) (x-2)^2 = 0
x-2 = 0
x = 2

Таким образом, мы получаем две точки, в которых производная функции равна нулю: x = -3/2 и x = 2.

6. Определим, являются ли найденные точки экстремумами функции f(x). Для этого используем вторую производную. Если вторая производная равна положительному числу в точке, то это минимум, если отрицательному - максимум.

7. Найдем вторую производную функции. Она равна:
f''(x) = d²f(x)/dx² = 2 + 6/(x-2)^3

8. Подставим найденные значения x = -3/2 и x = 2 во вторую производную:
a) f''(-3/2) = 2 + 6/((-3/2)-2)^3
= 2 + 6/(1/2)^3
= 2 + 6/(1/8)
= 2 + 6 * 8
= 2 + 48
= 50

b) f''(2) = 2 + 6/(2-2)^3
= 2 + 6/(0)^3
= 2 + 6/0
= 2 + ∞

9. Результаты:
a) f''(-3/2) = 50 > 0
Значение второй производной положительное, следовательно, функция имеет минимум в точке x = -3/2.

b) f''(2) = ∞
Значение второй производной неопределено, следовательно, в точке x = 2 нет экстремумов.

Таким образом, функция f(x) = x^2 - 3/(x-2) имеет минимум в точке x = -3/2.