{ y^2 - (x^2 - 4 + √(2|x| - x^2))*y + (x^2 - 4)*√(2|x| - x^2) = 0
{ y = 2x + a
Область определения х определяется только корнем:
2|x| - x^2 ≥ 0
1) x < 0; тогда |x| = -x
-x^2 - 2x ≥ 0
-x(x+2) ≥ 0
x € [-2; 0)
2) x ≥ 0; тогда |x| = x
-x^2 + 2x ≥ 0
-x(x-2) ≥ 0
x € [0; 2]
Область определения: x € [-2; 2]
Обратим внимание на 1 уравнение системы. По теореме Виета:
{ y1 + y2 = -b/a = (x^2 - 4) + √(2|x| - x^2)
{ y1*y2 = c/a = (x^2 - 4)*√(2|x| - x^2)
Отсюда ясно, что:
y1 = x^2 - 4; y2 = √(2|x| - x^2)
Но из 2 уравнения:
y = 2x + a
Получаем систему:
{ x^2 - 4 = 2x + a
{ √(2|x| - x^2) = 2x + a
Нам нужно, чтобы эта система имела нечётное число корней.
Это возможно, только в двух случаях:
1) если оба уравнения имеют по 2 корня, но один из корней - общий.
2) если оба уравнения имеют 1 корень, и при том общий.
Рассмотрим оба этих случая.
Первый случай. Уравнения имеют по 2 корня, и один из них общий.
{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0
{ 2|x| - x^2 = (2x + a)^2 = 4x^2 + 4ax + a^2
Второе уравнение распадается на два:
А) x < 0; |x| = -x
{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0
{ 5x^2 + (4a+2)x + a^2 = 0
Б) x ≥ 0; |x| = x
{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0
{ 5x^2 + (4a-2)x + a^2 = 0
Решаем случай А. Дискриминанты должны быть больше 0.
{ D = (-2)^2 - 4(-a-4) = 4 + 4a + 16 = 4a + 20 > 0
{ D = (4a+2)^2 - 4*5a^2 = 16a^2 + 16a + 4 - 20a^2 = -4a^2 + 16a + 4 > 0
Решаем эти неравенства:
{ a > -5
{ -a^2 + 4a + 1 > 0
D = 16 - 4(-1)*1 = 20 = (2√5)^2
a1 = (-4 - 2√5)/(-2) = 2 + √5 ≈ 4,236
a2 = (-4 + 2√5)/(-2) = 2 - √5 ≈ -0,764
a € (2-√5; 2+√5)
При таких а оба уравнения будут иметь по 2 корня.
{ x1 = 1 - √(a+5); x2 = 1 + √(a+5)
{ x1 = (-2a-1 - √(-a^2+4a+1))/5; x2 = (-2a-1 + √(-a^2+4a+1))/5
Система будет иметь одно решение, если один корень окажется общим.
1) 1 - √(a+5) = (-2a-1 - √(-a^2+4a+1))/5
5 - 5√(a+5) = -2a-1 -√(-a^2+4a+1)
√(-a^2+4a+1) = 5√(a+5) - (2a+6)
-a^2 + 4a + 1 = 25(a+5) - 10(2a+6)√(a+5) + (2a+6)^2
Решаем это уравнение.
2) 1 - √(a+5) = (-2a-1 + √(-a^2+4a+1))/5
3) 1 + √(a+5) = (-2a-1 - √(-a^2+4a+1))/5
4) 1 + √(a+5) = (-2a-1 + √)-a^2+4a+1))/5
Эти уравнения решаются точно также.
Потом точно также решаем случай Б.
Второй случай. Уравнения имеют по одному корню, и он общий.
{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0
{ 2|x| - x^2 = 4x^2 + 4ax + a^2
Здесь тоже два случая.
А) x < 0; |x| = -x
{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0
{ 5x^2 + (4a+2)x + a^2 = 0
Б) x ≥ 0; |x| = x
{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0
{ 5x^2 + (4a-2)x + a^2 = 0
Решаем случай А. Дискриминанты должны быть равны 0.
{ D = 4a + 20 = 0; a1 = -5
{ D = -4a^2 + 16a + 4 = 0
a^2 - 4a - 1 = 0
D = 16 + 4 = 20
a2 = (4 - 2√5)/2 = 2 - √5; a3 = 2 + √5
Вот при этих трёх значениях и будет одно решение системы.
Четвертое решение должно быть в Первом случае, но его там искать надо.
Видимо, там и получается a4 = 0.
