Вероятность сдачи студентом контрольной работы в срок равна 0,8. найти вероятность того, что из 60 студентов вовремя сдадут контрольную работу: а) 45 студентов; б) не менее половины студентов; в) не менее 40, но не более 50 студентов.
Для решения данной задачи о вероятностях воспользуемся формулой Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность того, что произойдет одно событие n раз при условии, что вероятность каждого отдельного события равна p.
Формула Бернулли выглядит следующим образом:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где X - количество успешных событий (в данном случае, студенты, которые успеют сдать контрольную),
k - количество успешных событий,
n - общее количество событий (в данном случае, количество студентов),
p - вероятность успеха при одном событии (в данном случае, вероятность сдачи контрольной),
q - вероятность неуспеха при одном событии (равна 1 - p).
а) Вероятность, что из 60 студентов 45 сдадут контрольную в срок:
n = 60, k = 45, p = 0,8, q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2.
Подставим значения в формулу:
P(X = 45) = C(60, 45) * 0,8^45 * 0,2^15.
Для вычисления количества сочетаний воспользуемся формулой:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!),
где ! - знак факториала.
Подставим значения и рассчитаем:
C(60, 45) = 60! / (45! * (60-45)!) = 60! / (45! * 15!).
Так как факториал большого числа 60! может быть очень большим и сложным для вычисления, воспользуемя свойствами факториала:
60! = 60 * 59 * 58 * ... * 2 * 1,
45! = 45 * 44 * 43 * ... * 2 * 1,
15! = 15 * 14 * 13 * ... * 2 * 1.
Подставим значения в формулу сочетаний:
C(60, 45) = (60 * 59 * 58 * ... * 2 * 1) / ((45 * 44 * 43 * ... * 2 * 1) * (15 * 14 * 13 * ... * 2 * 1))
Теперь мы можем вычислить P(X = 45):
P(X = 45) = C(60, 45) * 0,8^45 * 0,2^15
б) Вероятность, что не менее половины студентов сдадут контрольную в срок:
В данном случае нам нужно учесть все комбинации, когда сдаст хотя бы половина студентов.
Исходя из этого, мы можем пройти по всем возможным количествам студентов, начиная с 30 (за половину от 60) и до 60, и посчитать вероятность в каждом случае.
Пройдемся по всем возможным значениям и сложим вероятности для каждого из них:
P(X >= 30) = P(X = 30) + P(X = 31) + ... + P(X = 60)
с) Вероятность, что сдадут контрольную не менее 40, но не более 50 студентов:
В данном случае нам нужно учесть все комбинации, когда сдаст от 40 до 50 студентов.
Исходя из этого, мы можем пройти по всем возможным количествам студентов, начиная с 40 и до 50, и посчитать вероятность в каждом случае.
Пройдемся по всем возможным значениям и сложим вероятности для каждого из них:
P(40 <= X <= 50) = P(X = 40) + P(X = 41) + ... + P(X = 50)
Обращаю внимание, что в обоих случаях необходимо подставить значение p, полученное из условия задачи (равное 0,8). При расчете также возможны округления, чтобы ответ был более понятным для школьника.
Для решения данной задачи о вероятностях воспользуемся формулой Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность того, что произойдет одно событие n раз при условии, что вероятность каждого отдельного события равна p.
Формула Бернулли выглядит следующим образом:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где X - количество успешных событий (в данном случае, студенты, которые успеют сдать контрольную),
k - количество успешных событий,
n - общее количество событий (в данном случае, количество студентов),
p - вероятность успеха при одном событии (в данном случае, вероятность сдачи контрольной),
q - вероятность неуспеха при одном событии (равна 1 - p).
а) Вероятность, что из 60 студентов 45 сдадут контрольную в срок:
n = 60, k = 45, p = 0,8, q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2.
Подставим значения в формулу:
P(X = 45) = C(60, 45) * 0,8^45 * 0,2^15.
Для вычисления количества сочетаний воспользуемся формулой:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!),
где ! - знак факториала.
Подставим значения и рассчитаем:
C(60, 45) = 60! / (45! * (60-45)!) = 60! / (45! * 15!).
Так как факториал большого числа 60! может быть очень большим и сложным для вычисления, воспользуемя свойствами факториала:
60! = 60 * 59 * 58 * ... * 2 * 1,
45! = 45 * 44 * 43 * ... * 2 * 1,
15! = 15 * 14 * 13 * ... * 2 * 1.
Подставим значения в формулу сочетаний:
C(60, 45) = (60 * 59 * 58 * ... * 2 * 1) / ((45 * 44 * 43 * ... * 2 * 1) * (15 * 14 * 13 * ... * 2 * 1))
Теперь мы можем вычислить P(X = 45):
P(X = 45) = C(60, 45) * 0,8^45 * 0,2^15
б) Вероятность, что не менее половины студентов сдадут контрольную в срок:
В данном случае нам нужно учесть все комбинации, когда сдаст хотя бы половина студентов.
Исходя из этого, мы можем пройти по всем возможным количествам студентов, начиная с 30 (за половину от 60) и до 60, и посчитать вероятность в каждом случае.
Пройдемся по всем возможным значениям и сложим вероятности для каждого из них:
P(X >= 30) = P(X = 30) + P(X = 31) + ... + P(X = 60)
с) Вероятность, что сдадут контрольную не менее 40, но не более 50 студентов:
В данном случае нам нужно учесть все комбинации, когда сдаст от 40 до 50 студентов.
Исходя из этого, мы можем пройти по всем возможным количествам студентов, начиная с 40 и до 50, и посчитать вероятность в каждом случае.
Пройдемся по всем возможным значениям и сложим вероятности для каждого из них:
P(40 <= X <= 50) = P(X = 40) + P(X = 41) + ... + P(X = 50)
Обращаю внимание, что в обоих случаях необходимо подставить значение p, полученное из условия задачи (равное 0,8). При расчете также возможны округления, чтобы ответ был более понятным для школьника.