Тогда наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что (n-1)(n+1) при любом нечетном n кратно 8. Любое нечётное число можно представить в виде: n = 2k+1, k∈Z (Z - множество целых чисел)
Теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что k(k+1) при любом целом k кратно 2.
Пусть k = 0, тогда произведение равно 0 и отсюда следует, что произведение кратно 2; Пусть k - нечётное число, тогда k+1 - чётное. Произведение не чётного числа на чётное будет чётным и, следовательно, кратным 2. Аналогично если k - чётное число.
На основании вышеизложенного приходим к выводу, что (4n+1)² – (n+4)² при любом нечётном n кратно 120.
Если полученное выражение 15k(k+2) кратно 120, то k(k+2) кратно 8.
Поскольку k=2,4,6,..., то m=k/2=1,2,3,..., в таком случае, k=2m и 2m(2m+2) кратно 8, тогда 4m(m+1) кратно 8, откуда следует, что m(m+1) кратно 2. Поскольку произведение m(m+1) при любом целом m состоит из нечётного и чётного сомножителя, оно будет кратно 2 при любом m, откуда последовательно следует, что и при любом n исходное выражение будет кратно 120.
Комментарий: формула работает для всех нечётных n, строго больших единицы.
1)) 32•27= 864 ц зібрали з 32 га
2)) 4•36= 144 ц зібрали з 4 га
3)) 864+144= 1008 ц зібрали всього
4)) 32+4=36 га площа всіх ділянок
5)) 1008: 36= 28ц зібрали з 1 га середнє
Відповідь: середня врожайність пшениці на ділянках 28 центнерів з гектару
Виразом
( 32•27+4•36): (32+4)= 28ц