27 чисел.
Пошаговое объяснение:
Выпишем квадраты целых чисел:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500.
Я выписал все квадраты до 50^2.
Причем не заглядывая в таблицу квадратов! Всё решил в уме.
Разность двух последних равна 99.
Теперь выпишем все имеющиеся разности до 100 включительно:
3, 5, 7, ..., 97, 99 - все нечётные, всего их (99-3)/2 + 1 = 49 разностей.
Теперь считаем чётные разности:
9-1=8; 16-4=12; 25-1=24; 25-9=16; 36-4=32; 36-16=20; 49-1=48; 49-9=40; 49-25=24;
64-4=60; 64-16=48; 64-36=28; 81-1=80; 81-9=72; 81-25=56; 81-49=32;
100-4=96; 100-16=84; 100-36=64; 100-64=36; 121-25=96; 121-49=72; 121-81=40;
144-64=80; 144-100=44; 169-81=88; 169-121=48; 196-100=96; 196-144=52; 225-169=56;
256-196=60; 289-225=64; 324-256=68; 361-289=72; 400-324=76; 441-361=80;
484-400=84; 529-441=88; 576-484=92; 625-529=96; 676-576=100.
Всё, дальше все разности будут больше 101.
Получились чётные разности:
8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100.
Получилось 24 чётных разности и 49 нечётных.
Всего 73 разности может быть.
Остальные 100-73 = 27 чисел нельзя представить, как разность квадратов.
91, при:
a = 45
b = 41
c =5
Пошаговое объяснение:
По условию:
b+c-a = z^2
c+a-b = y^2
a+b-c = x^2
a>b>c
x,y,z- натуральные числа.
x>y>z
Откуда:
x^2 + y^2 + z^2 = (b+c-a) + (c+a-b) + (a+b-c) = a+b+c
При этом сумма любых двух из чисел x,y,z - четна:
(b+c-a) + (a+b-c) = 2b и тд.
Это возможно только когда все числа x,y,z одновременно являются четными или нечетными.
Предположим, что x,y,z - четны:
Тогда, если x<8, то
(x^2 + y^2 + z^2)max = 6^2 + 4^2 + 2^2 = 56 < 8^2 + 2^2 + 4^2 = 84 < 100
Но тогда, максимум будет достигнут при x = 8, ибо следующее число 10^2 = 100
8^2 + y^2 + z^2 < 100
Пусть y = 6, но тогда 8^2 + 6^2 + z^2 >100 , не подходит
Тогда:
y = 4
z = 2
max(x^2+y^2+z^2) = 8^2 + 4^2 + 2^2 = 64 + 16 + 4 = 84
Предположим, что x,y,z - нечетны.
Тогда, если x<9
max(x^2+y^2+z^2) = 7^2 + 5^2 + 3^2 = 83 < 9^2 + 1^2 + 3^2 = 91
Тогда максимум достигается при a = 9, ибо 11^2 > 100.
9^2 + y^2 + z^2 <100
Пусть y>=5, но тогда 9^2 + y^2 + z^2 >= 9^2 + 5^2 >100
Тогда:
max(x^2+y^2 + z^2) = 9^2 + 3^2 + 1^2 = 91
91 >84
Тогда для произвольных по четности x,y,z:
max(a+b+c) = max(x^2 + y^2 + z^2) = 91
a = (9^2 + 3^2)/2 = 45
b = (9^2 + 1^2) = 41
c = (3^2+1^2)/2 = 5