Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

Answer 1

Во всех задачах фигура - криволинейная трапеция (или обобщенная).

Поэтому можно использовать определенный интеграл:

а)

$S=\int\limits_0^1 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^1=e-1$

б)

Найдем сначала точки пересечения графиков:

$x^2=\frac{x^3}{3}\Rightarrow x^2\left(1-\frac{x}{3}\right)=0;\\x_1=0,\,x_2=3.$

Тогда получим

$S=\int\limits_0^3 \left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{12}\right)\right|_0^3=\frac{3^3}{3}-\frac{3^4}{12}=9-\frac{27}{4}=\frac{9}{4}.$

в)

Найдем сначала точки пересечения графиков:

$x^2+1=x+1\Rightarrow x^2-x=0;\\x_1=0,\,x_2=1.$

Тогда получим

$S=\int\limits_0^1 \left(x+1-x^2-1\right)\,dx=\int\limits_0^1 \left(x-x^2\right)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$