Для решения данной задачи используем определение геометрического места точек.
Пусть точка М(x;y) лежит на данном геометрическом месте точек. Тогда отношение расстояния от точки М до точки А и от точки М до прямой х=d должно быть равно е=1/2:
У нас дана точка А(3;0), прямая x=12 и число е=1/2. Подставим их значения в уравнение (1):
|x - 3| / |y - 0| = 1/2
|x - 3| = 1/2 * |y|
Заметим, что данная прямая является отрезком прямой х=12 между точками (12, -∞) и (12, +∞). То есть, точка M(x;y), лежащая на данной прямой, должна удовлетворять уравнению (2):
|x - 12| = 1/2 * |y|
Теперь, объединим два уравнения и решим их систему:
|x - 3| = 1/2 * |y|
|x - 12| = 1/2 * |y|
Рассмотрим каждый случай отдельно:
1) x - 3 = 1/2 * y и x - 12 = 1/2 * y:
Для решения этой системы уравнений выразим x через y:
x = 1/2 * y + 3
x = 1/2 * y + 12
Приравняем два полученных выражения:
1/2 * y + 3 = 1/2 * y + 12
Упростим уравнение:
3 = 12
Уравнение не имеет решений. Значит, для данного случая геометрическое место точек пустое множество.
2) x - 3 = 1/2 * y и x - 12 = -1/2 * y:
Для решения этой системы уравнений выразим x через y:
x = 1/2 * y + 3
x = -1/2 * y + 12
Приравняем два полученных выражения:
1/2 * y + 3 = -1/2 * y + 12
Упростим уравнение:
2y + 6 = -2y + 24
Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:
4y = 18
Разделим обе части уравнения на 4:
y = 9/2
Подставим найденное значение y в любое из исходных уравнений и найдем x:
x = 1/2 * (9/2) + 3
x = 9/4 + 12/4
x = 21/4
Таким образом, получили точку M(21/4; 9/2), которая лежит на геометрическом месте точек.
Теперь определим тип кривой:
Для этого рассмотрим уравнение (2), оно имеет вид |x - 12| = 1/2 * |y|. Заметим, что данное уравнение представляет собой модульную функцию. График модульной функции представляет собой две ветви гиперболы, отраженные относительно оси ординат. Значит, полученное геометрическое место точек - это две ветви гиперболы.
Теперь найдем фокусы гиперболы и эксцентриситет.
Формула для фокусных точек гиперболы имеет вид:
c = √(a^2 + b^2) (3)
где a - большая полуось гиперболы, b - малая полуось гиперболы, c - фокусное расстояние.
В нашем случае a = 1/2, b = 12/2 = 6. Подставим значения:
c = √((1/2)^2 + 6^2)
c = √(1/4 + 36)
c = √(37/4) = √37 / 2
Таким образом, фокусные точки гиперболы имеют координаты (12 + √37/2; 9/2) и (12 - √37/2; 9/2).
Теперь найдем эксцентриситет e:
e = c / a
e = (√37 / 2) / (1/2)
e = √37
Значит, эксцентриситет гиперболы равен √37.
Уравнение асимптот гиперболы имеет форму:
y = ±(b/a) * x (4)
Подставим известные значения:
y = ±(6 / (1/2)) * x
y = ±12x
Таким образом, уравнение асимптот гиперболы имеет вид y = ±12x.
Теперь построим график гиперболы с полученными значениями:
1) Поставим на координатной плоскости точку А(3;0) и отметим ее.
2) Проведем прямую x=12.
3) Найденную точку М(21/4; 9/2) обозначим на графике.
4) Нарисуем гиперболу в виде двух ветвей, исходящих из точки М.
5) Проведем асимптоты гиперболы в виде прямых y = ±12x.
6) Нанесем на график фокусные точки (12 + √37/2; 9/2) и (12 - √37/2; 9/2).
Таким образом, мы построили график гиперболы с фокусами, эксцентриситетом и асимптотами, удовлетворяющей условиям задачи.
У нас есть прямоугольный треугольник, у которого один из катетов (обозначим его через "а") меньше другого катета (обозначим его через "b") на 11 см. Также нам известна площадь треугольника, которая равна 21 см².
Для начала вспомним формулу площади прямоугольного треугольника:
Площадь = (1/2) * a * b
Мы знаем, что площадь треугольника равна 21 см², поэтому можем записать уравнение:
21 = (1/2) * a * b
Также нам известно, что один из катетов меньше другого на 11 см, то есть можно записать соотношение:
b = a + 11
Теперь мы можем использовать это соотношение для подстановки значения b в уравнение площади треугольника:
21 = (1/2) * a * (a + 11)
Дальше раскроем скобки и упростим уравнение:
21 = (1/2) * (a² + 11a)
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
42 = a² + 11a
Теперь приведем уравнение к виду квадратного трехчлена:
a² + 11a - 42 = 0
Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем либо факторизовать его, либо использовать квадратное уравнение.
Для упрощения решения, воспользуемся квадратным уравнением. Вспомним его формулу:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Здесь a = 1, b = 11 и c = -42, так как наше уравнение имеет вид ax² + bx + c.
Подставим значения в формулу и решим уравнение:
a = 1, b = 11, c = -42
a = 1, b = 11, c = -42
a = 1, b = 11, c = -42
a = 1, b = 11, c = -42
a = 1, b = 11, c = -42
a = 1, b = 11, c = -42
a = 1, b = 11, c = -42
Получим два значения для a: a₁ = -14 и a₂ = 3.
Теперь найдем соответствующие значения для b, используя уравнение b = a + 11:
Для a₁: b₁ = -14 + 11 = -3
Для a₂: b₂ = 3 + 11 = 14
У нас получилось два набора значений для катетов треугольника. Это означает, что возможны два варианта треугольников, удовлетворяющих нашим условиям.
В первом варианте сумма катетов равна: -14 + (-3) = -17
Во втором варианте сумма катетов равна: 3 + 14 = 17
Очевидно, что сумма катетов не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительное значение суммы катетов: 17.
Итак, сумма катетов прямоугольного треугольника равна 17 см.
