Question

Найдите все значения (а), при каждом из которых уравнение 1=|x-3|-|2x+a| имеет ровно один корень.

Answer 1

Рассмотрим функцию  
$y=|x-3|-|2x+a|\\$ 
 найдем производную 
 $y'=\frac{x-3}{|x-3|}-\frac{2(2x+a)}{|2x+a|}$ 
  $y'=0\\ \frac{x-3}{|x-3|}-\frac{2(2x+a)}{|2x+a|}=0\\\\ x=3\\\\ x=-\frac{a}{2}$ 
 функция  возрастает на 
 $x\in(-\infty;-\frac{a}{2}]$  
 функция убывает на                               
$x\in[-\frac{a}{2};+\infty)$ 
 при  $x=-\frac{a}{2}$ функция достигает  максимального          значения ,  следовательно подставив уравнения 
 $|-\frac{a}{2}-3|-|2*-\frac{a}{2}+a|=1\\ |\frac{-a-6}{2}|=1\\\\ -a-6=2\\ -a-6=-2\\\\ a=-8\\ a=-4$ 
  ответ при $a\in-8;-4$