Question

Катеты прямоугольного треугольника. катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20 см.из вершины прямого угла проведена биссектриса.на какие отрезки разделилась гипотенуза?

Answer 1

Есть теорема о биссектрисе. Воспользуемся её доказательством для решения задачи.
ABC - прямоугольный треугольник, AC = 15 см, BC = 20 см. CD - биссектриса.
Через вершину B проведём отрезок, параллельный биссектрисе CD, и продолжим сторону AC до пересечения данного отрезка в точке E (см. рис.).
$\angle DCB=\angle CBE=45^o$ как накрест лежащие при параллельных CD и BE и секущей BC.
$\angle BEC=\angle ACD=45^o$ как соответственные при параллельных CD и BE и секущей AE.
Следовательно, треугольник BCE равнобедренный, BC = CE = 20 см.
По теореме Фалеса
$\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{CE}\Rightarrow\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{CE}=\frac{15}{20}=\frac34$
Гипотенуза делится на 7 частей, из них 3 части - отрезок AD, 4 части - отрезок BD.
Из треугольника ABC по т.Пифагора найдём длину гипотенузы AB
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$ см.
$AD=\frac37\cdot25=\frac{75}7=10\frac57$ см.
$BD=\frac47\cdot25=\frac{100}7=14\frac27$ см.