Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть F'(x)=f(x), тогда
\int f(x)\,dx= \int F'(x)\,dx= \int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C.
Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.
Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= \int f(x)\,dx\,.
Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).
Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.
Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,
\int\cos2t\,dt= \int\cos{x}\,\frac{1}{2}\,dx= \frac{1}{2}\int\cos{x}\,dx= \frac{1}{2}\sin{x}+C= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Замечание. Вычисление короче записывают так:
\int\cos2t\,dt= \frac{1}{2}\int\cos2t\,d(2t)= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Пошаговое объяснение:
1 дм = 10 см
1 м = 100 см
1 км = 1000 м
1 м = 1000 мм
1 см = 10 мм
1 дм = 100 мм
1 т = 1000 кг
1 ц = 100 кг
1 мин = 60 с
1 ч = 60 мин
ПЕРЕВОД:4 дм 8 см = 4 * 10 + 8 = 40 + 8 = 48 см
5 м 7 см = 5 * 100 + 7 = 500 + 7 = 507 см
7 км 45 м = 7 * 1000 + 45 = 7000 + 45 = 7045 м
3 км 254 м = 3 * 1000 + 254 = 3000 + 254 = 3254 м
49 м 7 мм = 49 * 1000 + 7 = 49 000 + 7 = 49 007 мм
18 дм 5 см = 18 * 100 + 5 * 10 = 1800 + 50 = 1850 мм
2 т 57 кг = 2 * 1000 + 57 = 2000 + 57 = 2057 кг
32 ц 6 кг = 32 * 100 + 6 = 3200 + 6 = 3206 кг
55 мин 6 с = 55 * 60 + 6 = 3300 + 6 = 3306 с
28 мин 34 с = 28 * 60 + 34 = 1680 + 34 = 1714 с
8 ч 24 мин = 8 * 60 + 24 = 480 + 24 = 504 мин
15 ч 49 мин = 15 * 60 + 49 = 900 + 49 = 949 мин
РЕШЕНИЕ:4 дм 8 см + 5 м 7 см = 48 см + 507 см = 555 см = 5 м 5 дм 5 см
7 км 45 м - 3 км 254 м = 7045 м - 3254 м = 3791 м = 3 км 791 м
49 м 7 мм - 18 дм 5 см = 49 007 мм - 1850 мм = 47 157 мм =
= 47 м 1 дм 5 см 7 мм
2 т 57 кг - 32 ц 6 кг = 2057 кг - 3206 кг = не может быть
55 мин 6 с - 28 мин 34 с = 3306 с - 1714 с = 1592 с = 26 мин 32 с
8 ч 24 мин + 15 ч 49 мин = 504 мин + 949 мин = 1453 мин =
= 24 ч 13 мин
S = 6,5*5,5= 35,75 кв.см