Question

Втрапеции abcd меньшая диагональ bd, равна 5, перпендикулярна основаниям ad и bc, сумма острых углов а и с равна 90 градусов. найдите длину меньшего основания трапеции, если большая диагональ равна 13.

Answer 1

Обозначим точку пересечения диагоналей  $O$ ,  треугольники $BOC;AOD$ подобны .  Так же   $ABD;DCB$  откуда получаем 
$\frac{BC}{5} = \frac{5}{AD}\\ BC*AD=25$. 
Положим что $OC=x;OB=y$  получаем  $\frac{x}{13-x}=\frac{y}{5-y}$ .  
Так как угол  $DBC=90а\\ BDA=90а$ , по теореме Пифагора  получаем 
$y^2+BC^2=x^2\\ (5-y)^2+AD^2=(13-x)^2$.
Получаем систему уравнения     
  $5x=13y\\ AD=\frac{25}{BC}\\\\ BC^2+\frac{25x^2}{169}=x^2\\ (5-\frac{5x}{13})^2+\frac{625}{BC^2}=(13-x)^2\\\\$
подставляя во второе получаем что  $BC=6+\sqrt{11}0$  это меньшее основание