Question

Розвязати диференціальні рівняння x^2y'=y^2-xy+x^2

Answer 1

$x^2y'=y^2-xy+x^2\\\\y'=(\frac{y}{x})^2-\frac{y}{x}+1\\\\u=\frac{y}{x}\; ,\; \; y=ux\; ,\; \; y'=u'x+u\\\\u'x+u=u^2-u+1\\\\u'x=u^2-2u+1\\\\u'x=(u-1)^2\\\\\int \frac{du}{(u-1)^2}=\int \, \frac{dx}{x}\\\\\frac{(u-1)^{-1}}{-1}=ln|x|+C\\\\-\frac{1}{u-1}=ln|x|+C\\\\\frac{y}{x}-1=-\frac{1}{ln|x|+C}\\\\y=x\cdot (1-\frac{1}{ln|x|+C})\\\\y=x\cdot \frac{ln|x|+C-1}{ln|x|+C}$