Question

Вычислить определенный интеграл (-1; 1) х^3cosпx/4dx

Answer 1

$\int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx$
Будем интегрировать по частям:
$\int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df$, где:
$f=x^3\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=3x^2dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi$
Тогда:
$\int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1-12/\pi \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx$
Для интеграла $\int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx$ используем также метод интегрирования по частям:
$\int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df$, где:
$f=x^2\\dg=sin( \pi x/4)dx\\df=2xdx\\g=-4cos( \pi x/4)/ \pi$
Тогда:
$4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1-12/\pi \int\limits^1_{-1}{x^2sin( \pi x/4)}dx=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-96/ \pi ^2 \int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx$
Для интеграла $\int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx$ используем также метод интегрирования по частям:
$\int\limits^a_b {f} \, dg=fg- \int\limits^a_b {g} \, df$, где:
$f=x\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi$
Тогда:
$4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-96/ \pi ^2 \int\limits^1_{-1} {xcos( \pi x/4)} \, dx=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+\\+384/ \pi ^3 \int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx$
Для интеграла $\int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx$ воспользуемся заменой переменой: 
$u=sin( \pi x/4)\\du= \pi dx /4$
Тогда:
$4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+384/ \pi ^3 \int\limits^1_{-1} {sin( \pi x/4)} \, dx=$$=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}+1536/ \pi ^4 \int\limits^1_{-1} {sin(u)} \, du=$$=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}-1536cos(u)/ \pi ^4|^{\pi/4}_{-\pi/4}=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi|_{-1}^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2|^1_{-1}-$$-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3|^1_{-1}-1536cos(\pi x/4)/ \pi ^4|^{1}_{-1}=\\=4(\pi x(\pi ^2x^2-96)sin(\pi x/4)+12(\pi ^2x^2-32)cos(\pi x/4))/\pi ^4|^1_{-1}=$$=4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4-\\-4(-\pi (\pi ^2-96)sin(-\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(-\pi /4))/\pi ^4=\\=4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4-$$-4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4=0$
ответ:
$\int\limits^1_{-1} {x^3cos( \pi x/4)} \, dx =0$