Question

Найти общее решение d^2y/dx^2-8dy/dx+25y=0

Answer 1

$\frac{d^2y}{d^2x} - 8\frac{dy}{dx} + 25y=0$
$y''-8y'+25y=0$
степень дифференциального уравнения равна 2, напишем характеристическое уравнение второго порядка для данного дифференциального
$\lambda^2-8 \lambda+25=0$
решим его
$D=8^2-4*25=64-100=-36$
$\sqrt{D}= \sqrt{-36}= \sqrt{36} * \sqrt{-1} =6i$
$\lambda_1= \frac{8+6i}{2}=4+3i$
$\lambda_2= \frac{8+6i}{2}=4-3i$
данным корням соответствуют следующие слагаемые в решении дифференциального уравнения
$\lambda_1:C_1e^{4t}cos3t$
$\lambda_2:C_2e^{4t}sin3t$
тогда общее решение выглядит так:
$X=C_1e^{4t}cos3t+C_2e^{4t}sin3t$
ответ: $X=C_1e^{4t}cos3t+C_2e^{4t}sin3t$