Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2; y=3-x

Answer 1

$y=x^2 \\ y=3-x \\ \\ x^2=3-x \\ x^2+x-3=0 \\ D=b^2-4ac=1^2-4*1*(-3)=1+12=13 \\ \\ x_{1} = \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-1+ \sqrt{13} }{2} \\ \\ x_{2} = \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-1- \sqrt{13} }{2}$

$\int\limits^\frac{-1+ \sqrt{13} }{2}_\frac{-1- \sqrt{13} }{2} {(3-x-x^2)} \, dx =3x- \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} |^\frac{-1+ \sqrt{13} }{2}_\frac{-1- \sqrt{13} }{2}= \\ \\ =(3*\frac{-1+ \sqrt{13} }{2}- \frac{(\frac{-1+ \sqrt{13} }{2})^2}{2} - \frac{(\frac{-1+ \sqrt{13} }{2})^3}{3})- \\ \\ -(3*\frac{-1- \sqrt{13} }{2}- \frac{(\frac{-1- \sqrt{13} }{2})^2}{2} - \frac{(\frac{-1- \sqrt{13} }{2})^3}{3})= \\ \\$

$=(\frac{-3+ 3\sqrt{13} }{2}- \frac{7- \sqrt{13}}{4} - \frac{2\sqrt{13}-5}{3})-(\frac{-3- 3\sqrt{13} }{2}- \frac{7+ \sqrt{13}}{4} - \frac{-5-2\sqrt{13}}{3})= \\ \\ =\frac{6(-3+ 3\sqrt{13})-3(7- \sqrt{13})-4(2\sqrt{13}-5)}{12} -\frac{6(-3- 3\sqrt{13})-3(7+ \sqrt{13})-4(-5-2\sqrt{13})}{12}= \\ \\ =\frac{(-18+ 18\sqrt{13})-(21- 3\sqrt{13})-(8\sqrt{13}-20)}{12}- \\ \\ -\frac{(-18- 18\sqrt{13})-(21+ 3\sqrt{13})-(-20-8\sqrt{13})}{12}=$

$=\frac{-18+18\sqrt{13}-21+3\sqrt{13}-8\sqrt{13}+20}{12}-\frac{-18-18\sqrt{13}-21-3\sqrt{13}+20+8\sqrt{13}}{12}= \\ \\ =\frac{-19+13\sqrt{13}}{12}-\frac{-19-13\sqrt{13}}{12}=\frac{(-19+13\sqrt{13})-(-19-13\sqrt{13})}{12}= \\ \\ =\frac{-19+13\sqrt{13}+19+13\sqrt{13}}{12}=\frac{26\sqrt{13}}{12}=\frac{13\sqrt{13}}{6}=7,812$

ответ: S=7,812 кв. ед.