Question

Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3 площади квадрата, построенного на основании данного треугольника. длины боковых сторон треугольника короче длины его основания на 1 см. найдите длины сторон и высоты
треугольника, проведённой к основанию.

Answer 1

Пусть ABC - треугольник, BH - высота к основанию AC, ACDE - квадрат

Пусть, AB=x и AC=y, тогда так как AH=HC (треугольник равнобедренный) имеем, что AH=y/2, тогда из треугольника ABH

           (BH)^2=(AB)^2-(AH)^2

            (BH)^2=x^2-y^2/4=(4*x^2-y^2)/4

            BH=sqrt(4*x^2-y^2)/4

так как из условия задачи y-x=1 => x=y-1, то равенство примет вид

            BH=sqrt(4*(y-1)^2-y^2)/4

SABC=AC*BH/2

SABC=y*sqrt(4*(y-1)^2-y^2)/4

SACDE=(AC)^2

SACDE=y^2

Из условия задачи

    3*SABC=SACDE

то есть

  3*y*sqrt(4*(y-1)^2-y^2)/4=y^2

Возведем обе части равенства в квадрат

(9*y^2/16)*(4*(y-1)^2-y^2)=y^4

9y^2*(4*(y^2-2y+1)-y^2)=16y^4

9y^2*(3y^2-8y+4)=16y^4

27y^4-72y^3+36y^2=16y^4

11y^4-72y^3+36y^2=0

y^2*(11y^2-72y+36)=0

y=0 - побочный корень y>0

11y^2-72y+36=0

D=b^2-4ac=3600

y1,2=(-b±sqrt(D))/2a

y1=6/11

y2=6

1) y=6/11

    x=y-1=6/11-1<0 - побочный корень

2) y=6

    AC=6 - основание треугольника

    AH=HC=6/2=3

    x=y-1=6-1=5 

    AB=BC=5 - боковые стороны треугольника

    (BH)^2=(AB)^2-(AH)^2=25-9=16

     BH=4 - высота треугольника