Вклассе 30 учеников, у каждого их них одинаковое количество друзей среди одноклассников. какое наибольшее количество учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (о каких-то двух учениках из класса можно сказать, кто с них учиться лучше)
Ну не знаю правильно ли я понял задание, но если понять это так что например у каждого только один друг, тогда и получится больше всего тех кто учится лучше своих друзей в нашем случае одного друга получается 15? Я не уверен.
Буквы алфавита племени выписали в строку, например, A B C D E F G всего 7 букв
По условию в ЛЮБОЙ группе из НЕСКОЛЬКИХ последовательных букв некоторая буква должна встречаться ровно один раз. То есть, если к написанным 7 буквам дописать какую-то букву, например, А, и взять группу из восьми букв, то буква А будет присутствовать 2 раза (нарушается условие 'должна встречаться ровно один раз').
Поэтому наибольшая длина строки из семи букв алфавита не может содержать более семи не повторяющихся букв алфавита.
Чтобы понять задачу, начнём пробовать с 1 буквы, с двух букв и т.д. Пусть алфавит состоит из одной буквы А. Наибольшая длина требуемой последовательности равна 1, т.е. состоит из 1 буквы А. Пусть алфавит состоит из двух букв А и Б. Тогда требуемая последовательность будет состоять из трёх букв: АБА. Пусть алфавит состоит из трёх букв А, Б и В. Тогда требуемая последовательность будет такая АБАВАБА (7 букв). Т.е. одна буква в середине, а по краям повторяются последовательности, которые были рассмотрены на шаг ранее. И теперь, какую бы последовательность мы не возьмём, одна из букв будет встречаться только один раз. Вырисовывается некая закономерность, поэтому легко составляется последлвательность для алфавита из 4-х букв А, Б, В и Г: АБАВАБАГАБАВАБА (15 букв). Можно таким образом продолжить и далее до алфавита из 7 букв, но заметим, что в последовательности, состоящей из длин требуемой строки, есть закономерность: 1, 3, 7, 15, ... - это не что иное, как , где n - количество букв в алфавите. Значит, для n=7 получим: Покажем, что это распространяется для любого n методом математической индукции. Первые шаги нами уже проверены, поэтому предполагаем, что формула верна для некоего числа n. Докажем, что это выполянется и при (n+1). Что мы делали, когда составляли последовательность, добавляя в алфавит ещё одну букву? Мы брали две предыдущие последовательности и в середину вставляли новую букву. Что и требовалось доказать.
, где n - количество букв в алфавите. Значит, для n=7 получим:
