Question

Утрикутнику abc, один з кутів якого дорівнює 48 градусів, довжини сторін задовольняють співвідношення (a-d)(a+c)2+bc(a+c)=ab2 . виразіть уградусах величини двох інших кутів цього трикутника.

Answer 1

 Вчера по этой идее решал но   ошибся в вычислениях 
$(a-c)(a+c)^2+bc(a+c)=ab^2\\ (a^2-c^2)(a+c)+bc(a+c)=ab^2\\ (a+c)(a^2-c^2+bc)=ab^2\\ (c-b+a)(a^2+ab-c^2)=0 \\\\ c=b-a0\\ c=\sqrt{a^2+ab}0$
$1)c=b-a\\ 2)c=\sqr{a^2+ab}$
Рассмотрим случаи  , когда угол $48а$ лежит против стороны $c$    
По теореме косинусов 
$c^2=a^2+b^2-2ab*cos48\\\\$  
Положим первое равенство, с выражения $c=b-a$, получим 
$b^2-2ab+a^2=a^2+b^2-2ab*cos48\\ 2ab(cos48-1)=0\\ a \neq 0\\ b \neq 0\\ cos48 \neq 1$ 
 не подходит     $2$ случаи 
 $a^2+ab=a^2+b^2-2ab*cos48\\ ab=b^2-2ab*cos48\\ a=b-2a*cos48\\ b=a(1+2cos48)\\ c=\sqrt{a^2+a*a(1+2cos48)}=2a*cos24\\\\ a+bc\\ a+cb\\ b+ca\\$ при этом неравенство  выполняется 
 По теореме синусов 
$\frac{2a*cos24а}{sin84а}=\frac{a}{sinb}\\ b=arcsin(\frac{sin48а}{2cos24а})=24а\\\\$  
третий угол $180-24-48=108$ всего
 $24;108;48$
 
Положим что $48а$  лежит против   стороны $b$  
 $a^2=a^2+c^2-2ac*cos48\\ b^2=2a^2+ab-2a*\sqrt{a^2+ab}*cos48\\ b^2-ab=2a^2-2a\sqrt{a^2+ab}*cos48\\ b=a+2a*cos96 \\ c=2a*cos48\\\\ \frac{a}{sin48} = \frac{a+2a*cos96}{sinb}\\ b=36а$
 $36;48;96$   

Положим что  против стороны $a$ 
  $a^2=b^2+c^2-2bc*cos48\\ a^2=b^2+a^2+ab-2b\sqrt{a^2+ab}*cos48 \\ b=2acos96+a\\ c=2a*cos48\\\\ a+bc\\ b+ca\\ a+cb$ 
 при это неравенство треугольников  , выполняется 
    
 $\frac{1}{sin48} = \frac{2cos96+1}{sinb}\\ b=arcsin((2cos96+1)*sin48)=36а$ 
 $180-36-48=96$
    
 

Answer 2

Заменим  для   удобства a+c=t
(a-c)*t^2+bc*t-ab^2=0
Решим   уравнение относительно t:
D=b^2*c^2+4(a-c)*ab^2=b^2c^2+4*a^2*b^2-4cab^2 можно  заметить  что  это   полный   квадрат:
D=(2ab-bc)^2 
но  в  любом  случае
t=(-bc+-|2ab-bc|)/2(a-c)
с каким  бы  знаком не   раскрылся  модуль в силу симетрии знаков +- перед модулем то  в  любом случае   будет только 2   одних и  тех же решения:
t=(-bc+-(2ab-bc))/(2(a-c)

1)t=(2ab-2bc)/2(a-c)=b
a+c=b ,но  по  неравенству  треугольника это  невозможно.
2)  t=(-bc-2ab+bc)/(2(a-c)
a+c=ab/(c-a)    Откуда ярко видно   что с>a
c^2-a^2=ab
Запишем   теорему косинусов:
a^2+b^2-2ab*cosA=c^2
b^2-2ab*cosA=c^2-a^2=ab
  b-2a*cosA=a     b=a+2a*cosA   b=a(1+2cosA)  cosA=(b-a)/2a=b/2a -1/2
c^2+b^2-2bc*cosB=a^2
с^2-a^2=2bc*cosB-b^2
ab=2bc*cosB-b^2
a=2с*сosB-b
сosB=(a+b)/2c
c=sqrt(ab+a^2)
cosB=(a+b)/(2sqrt(ab+a^2)
cos^2B= (a+b)^2/4(ab+a^2)=(a+b)^2/4(a+b)a=(a+b)/4a=b/4a+1/4
2*cos^2B=b/2a +1/2
cosA=b/2a -1/2
Вычетая  поочленно  получим:
2*сos^2B-cosA=1
cosA=2*cos^2B-1=cos2B
сosA=cos2B (но   тк это углы треугольника),то
  A=2B
Один   из углов  48
Тогда   рассмотрим 3   варианта
1)48+3x=180
x=44
Искомые углы:48,44,88
2)48+96+x=180
Углы 48,96,36
3)24+48+x=180
Углы 24,48,108
Теперь самое сложное нужно понять какой из этих вариантов подходит
второй вариант не   подходит   тк в   нем  второй угол   тупой
CosB=96<0
но   (a+b)/2c>0 ,то   есть такое невозможно
Насчет   того 1  или второй вариант  пока не знаю. Потом   подумаю
Пока   предварительно   ответ   таков:  или  48,44,88 или 24,48,108  не   исключено   что оба варианта подходят
Да  думаю что  скорее   всего оба