Question

Квадратный трехчлен f(x)=x^2 + px+ q имеет два различных целых корня один из корней трехчлена и его значение в точке x=11 являются простыми числами найдите корни трехчлена

Answer 1

Пусть  p1>0 один  из его  простых  корней,x2  его 2 целый корень,p2>0  его значение 
F(11) тогда для него верно разложение из   теоремы виета
 y=x^2-(p1+x2)x+p1x2=(x-p1)(x-x2)
Откуда
F(11)=(11-p1)(11-x2)=p2
Тк число p2   простое,то оно делится   только на 1  и само себя откуда возможно 4 варианта:
1)11-p1=1 p1=10   неверно тк   10 число не простое
    11-x2=p2
2)11-p1=p2
    11-x2=1
     x2=10
11=p1+p2
Сумма  2 чисел является  нечетной,только когда 1  из них является четным,но   тогда  одно из этих    чисел равно 2, а другое 9 ,что невозможно тк  число  9 не  является простым.
3) 11-p1=-1  p1=12  число 12  не  простое  то  есть не подходит
    11-x2=-p2
4) И  наконец  последний   случай:
11-p1=-p2
11-x2=-1
x2=12
p1-p2=11
Разность  2 чисел  нечетна,только когда 1  из  них четно,а  значит 1  из чисел равно 2  ,тк  это  единственное  четное простое  число.
тогда p1=13  p2=2. что  верно тк 13 число простое
Тогда   наши корни: x1=12  x2=13
А  наше   уравнение
x^2-25x+156 
ответ:x1=12; x2=13   F(11)=2