Question

Найти длину дуги кривой y=ln x, где х больше или равно корню из 3, но меньше или равно корню из 4.

Answer 1

Найдем производную у`=1/x
$L= \int\limits^2_ {\sqrt{3}} { \sqrt{1+(y`) ^{2} } } \, dx = \int\limits^2_{ \sqrt{3}} { \sqrt{1+( \frac{1}{x}) ^{2} } } \, dx = \int\limits^2_{ \sqrt{3} } { \sqrt{ \frac{ x^{2} +1}{ x^{2} } } } \, dx = \\ ,$

Вычислим интеграл с тригонометрической подстановки х= tg t
тогда dx= 1/(cos² t) 
x²+1=tg² t +1= 1/(cos² t)

$\int\limits} { \sqrt{1+( \frac{1}{x} ) ^{2} } } \, dx = \int\limits { \frac{ \sqrt{tg ^{2}t+1 } }{tgt} } \, \frac{dt}{cos ^{2}t }= \int\limits { \frac{sint}{sin ^{2}t\cdot cos ^{2} t } } \, dt = \int\limits { \frac{d(cost)}{cos ^{2}t(cos ^{2}t-1) } } \,=$

$= \int\limits{ (\frac{1}{cos ^{2}t -1}- \frac{1}{cos ^{2}t } ) } \, d(cost)= \frac{1}{2}ln |\frac{cost-1}{cost+1}| + \frac{1}{cost} = \frac{1}{2}ln|tg \frac{t}{2}| + \frac{1}{cost}$

где t = arctg x

$L= \frac{1}{2} ln|tg \frac{arctg2}{2}|- \frac{1}{2}ln|tg \frac{arctg \sqrt{3} }{2}| } + \frac{1}{cos(arctg2)} - \frac{1}{cos(arctg \sqrt{3} )}$