1)в каждую клетку квадратной таблицы 25*25 вписано произвольным образом одно из чисел : 1 или -1. под каждым столбцом таблицы записывается произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. справа от каждой строки таблицы записывается произведение всех чисел, стоящих в этой строке. докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю. 2) сколькими нулями оканчивается произведение 1*2*3**2009*2010*2011
Тогда сумма всех произведений строк и столбцов будет равна 50
Теперь ставим в любую клетку -1, получается одно произведение в столбце = -1 и в одной строке = -1
Сумма станет 48 - 2 = 46, т.е. одна -1 в клетке уменьшает сумму на 4
т.е. сумма может быть либо максимально приближенная к нулю 2 или -2,
если поставить -1 в строку , где уже есть -1, а в столбец где нет, то строка и столбец изменят знак на противоположный, и следовательно сумма останется неизменной.
2)
Здесь нужно посчитать сколько есть чисел заканчивающихся на 10, например 340 можно разложить на множители 34*10, следовательно неважно, на какое число мы его умножим, их произведение обязательно закончится хотябы одним нулем.
Считаем
В одной сотне 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,100 = 11 нулей
В тысяче 10 сотен, т.е. 110 нулей + 1 от 1000 (третий ноль) = 111 нулей
В двух тысячах 222 нуля
в 2011 - 223 нуля - добавляется ноль из 2010
Теперь еще 10 даст произведение 5 и 2
В каждой десятке по одно1 5 и много двоек, 4=2*2, 6=2*3 и т.д, т.е. недостатка в двойках не будет, следовательно нужно рассчитать количество пятерок.
в сотне
5,15,25,35,45,50,55,65,75,85,95 = 13 пятерок
тут нужно пояснить - в каждом числе по одной пятерке, кроме 25=5*5 - их две и 75=5*5*3, и не берутся круглые числа, типа 30, 40 и т.д., потому что мы из них забрали 10, а 50 берется, т.к. забрав 10, 5 останется.
Значит в каждой тысяче 130 пятерок
в двух - 260 + 1 от 2005, итого 261.
Но существует еще и подвох.
Есть числа, где в множителях 3 пятерки
это числа кратные 125, т.е.
125, 250,375,500,625,750,875,1000,1125,1250,1375,1500,1625,1750,1875,2000
1000 и 2000 мы исключаем, т.к. мы их уже использовали полностью.
т.е. каждое из этих чисел дает нам еще по одной 5, а 625 - еще 2
итого 15 пятерок всего
261+15=276
276+223= 499 нулей