1 случай Если х² - 4х - 4≥0, то |x² - 4x - 4|= x²- 4x - 4 Уравнение принимает вид: x²- 4x - 4 + 4 = 2х, х² - 6х = 0, х·(х - 6) = 0 х₁=0 или х₂=6 Можно решить неравенство х² - 4х - 4≥0 и проверить входят ли корни в множество решений неравенства. А можно просто подставить корни в неравенство: при х₁=0 получаем неравенство 0²-4·0-4≥0, которое неверно, так как -4≥0- неверно. Значит х₁=0 не является корнем уравнения при х₂=6 получаем неравенство 6²-4·6-4≥0, которое верно 36-24-4=8, 8≥0 х₂=6- корень уравнения в 1) случае.
2 случай Если х² - 4х - 4<0, то |x² - 4x - 4|= -(x²- 4x - 4) Уравнение принимает вид: -(x²- 4x - 4) + 4 = 2х, -х² +4x +4+4-2x = 0, -х² +2x+8 = 0, x² - 2x - 8 = 0, D=(-2)² - 4·(-8)=4+32=36 х₃ = (2-6)/2 = -2 или х₄=(2+6)/2=4 Проверим, удовлетворяют ли корни х₃ = -2 и х₄=4 неравенству х² - 4х - 4<0
при х₃= - 2 получаем неравенство (-2)²-4·(-2)-4 < 0, которое неверно, так как 4+8-4=8, 8 < 0- не верно, Значит х₃=- 2 не является корнем уравнения
при х₄= 4 получаем неравенство 4²-4·4-4 < 0, которое верно 16-16-4=-4, -4 < 0 Значит х₄=4 является корнем уравнения
x=4 корень уравнения во втором случае. ответ. 4 ; 6
Количество задач, которые осталось решить Пете и Коле относится как 5:1 Т.е., Пете осталось решить 5 частей задач (в 5 раз больше), а Коле 1 часть задач. 1) 159-123=36 (задач) - разница между решенными Колей и Петей задачами. 2) 5-1=4 (части) - осталось решить Пете, чтобы догнать Колю. 3) 36:4=9 (задач) - осталось решить Коле, а также количество задач в одной части. 4) 159+9=168 (задач) - всего задали на лето каждому из мальчиков. Из 168 задач Коля решил 159 задач (осталось решить 9 заданий) Из 168 задач Петя решил 123 задачи, осталось решить 9*5=45 заданий.
Вообще это ЛДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами. Вводом переменной z=y' приходим к уравнению x*z'-z-x^2=0 = z'-z/x-x=0 - ЛДУ 1-го порядка. Пусть z=u*v ->u'*v+u*v' -u*v/x-x=0, v(u'-u/x)+u*v'-x=0, u'-u/x=0, du/u=dx/x, ln(u)=ln(x), u=x, x*v'=x, v'=1,v=x+C1, z=x*(x+C1)=x^2+C1*x. Проверка: x*z'-z-x^2=2*x^2+C1*x-x^2-C1*x-x^2=0, так что z найдено верно. Тогда y=x^3/3+C1*x^2/2. Проверка: y'=x^2+C1*x, y''=2*x+C1, x*y''-y'=2*x^2+C1*x-x^2-C1*x=x^2, так что у найдена верно. ответ: y=x^3+C1*x^2/2+C2
Если х² - 4х - 4≥0, то |x² - 4x - 4|= x²- 4x - 4
Уравнение принимает вид:
x²- 4x - 4 + 4 = 2х,
х² - 6х = 0,
х·(х - 6) = 0
х₁=0 или х₂=6
Можно решить неравенство х² - 4х - 4≥0 и проверить входят ли корни в множество решений неравенства.
А можно просто подставить корни в неравенство:
при х₁=0 получаем неравенство 0²-4·0-4≥0, которое неверно, так как -4≥0- неверно.
Значит х₁=0 не является корнем уравнения
при х₂=6 получаем неравенство 6²-4·6-4≥0, которое верно 36-24-4=8, 8≥0
х₂=6- корень уравнения в 1) случае.
2 случай
Если х² - 4х - 4<0, то |x² - 4x - 4|= -(x²- 4x - 4)
Уравнение принимает вид:
-(x²- 4x - 4) + 4 = 2х,
-х² +4x +4+4-2x = 0,
-х² +2x+8 = 0,
x² - 2x - 8 = 0,
D=(-2)² - 4·(-8)=4+32=36
х₃ = (2-6)/2 = -2 или х₄=(2+6)/2=4
Проверим, удовлетворяют ли корни
х₃ = -2 и х₄=4 неравенству х² - 4х - 4<0
при х₃= - 2 получаем неравенство (-2)²-4·(-2)-4 < 0, которое неверно, так как 4+8-4=8, 8 < 0- не верно,
Значит х₃=- 2 не является корнем уравнения
при х₄= 4 получаем неравенство 4²-4·4-4 < 0, которое верно 16-16-4=-4, -4 < 0
Значит х₄=4 является корнем уравнения
x=4 корень уравнения во втором случае.
ответ. 4 ; 6