DABC - правильный тетраэдр ⇒ все рёбра данного тетраэдра равны, и грани представляют собой равные правильные треугольник. Чтобы было удобнее, расположим тетраэдр на грань ACD, что никак не изменяет его. Вершина тетраэдра проецирется в центр основания(ΔACD - правильный), то есть в точку пересечения биссектрис, медиан и высот, и поэтому падает на медиану АР, BO⊥AP ⇒ (АВР)⊥(ACD), а значит, ортогональная проекция точки на плоскость ACD лежит на медиане AP, MK⊥AP, ч.т.д.
Б)Не зря ж доказывали, что проекция точки М падает на AP, это пригодиться и под пунктом Б) ; MK⊥AP ⇒ MK⊥(ACD), MK⊥DK, а значит, ∠MDK - искомый угол между прямой DM и плоскостью ACD. Пусть все рёбра тетраэдра равны 1, тогда в правильном ΔABD: DM - медиана, высота, биссектриса и рассчитывается по формуле DM = a√(3)/2 = √(3)/2. Медианы треугольника пересекаются точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины: AO = 2•OP ; BO⊥AP, MK⊥AP ⇒ BO||MK и ВМ = АМ, значит, АК = КО = ОР ; АР - высота правильного ΔACD ⇒ AP = √(3)/2 , AK = KO = OP = AP/3 = √(3)/6 ; PK = √(3)/3 ; CP = PD = CD/2 = 1/2 ⇒ по т.Пифагора в прям-ом ΔKPD: KD² = PK² + PD² = (√(3)/3)² + (1/2)² = (1/3) + (1/4) = 7/12 ⇒ KD = √(7/12)
В прям-ом ΔMDK: cos∠MDK = KD/DM = √(7/12) : (√(3)/2) = 2√7/√36 = √(7)/3 ⇒ ∠MDK = arccos(√(7)/3)
ответ: б) arccos(√(7)/3)
5,10.15,20