Если натуральное число n имеет остаток k при делении на 6, его можно представить в виде n=6m+k, где m - натуральное число или 0. По условию, n взаимно просто с 6, то есть n не делится на 2 и не делится на 3. Тогда k=1 или k=5, где k - целое неотрицательное число. Рассмотрим эти два случая:
1. n=6k+1, n²=(6k+1)²=36k²+12k+1, n²-1=36k²+12k=12k(3k+1). Если k чётно, то 12k делится на 24, тогда и всё произведение делится на 24. Если k нечётно, то 12(3k+1) делится на 24, тогда тоже всё произведение делится на 24.
2. n=6k+5, n²=(6k+5)²=36k²+60k+25, n²-1=36k²+60k+24=36k²+12k+48k+24=36k²+12k+24(2k+1). Последнее слагаемое делится на 24, а то, что 2 предыдущих делятся на 24, мы доказали выше. Значит, вся сумма делится на 24.
Таким образом, если n не делится на 2 и на 3, то n²-1 всегда будет делиться на 24.
Итак , возьмем, так сказать, "самый трудный" вариант - есть окружность, нет центра окружности, есть точка А на окружности, через которую нужно провести касательную. Все будем делать одинаковым раствором циркуля для простоты, можно и разным, но для унификации- одним. Решений задачи много, я привожу один из них. рис.1 раствором циркуля делаем засечки на окружности , АВ=АС рис.2 проводим прямые рис.3 на продолжении одной из прямой делаем засечку такой же длины, получим точку Д рис.4 из т.С и Д опять же таким же раствором чертим дуги, при пересечении дают точку М рис. 5 проводим прямую МА - она искомая
доказывать не буду, скажу только , что АДМС - ромб, у него диагонали перпендикулярны.
В круг вписан правильный шестиугольник со стороной 8 см. от вершины шестиугольника до центра проведи отрезки (р) и получишь 6 одинаковых равнобедренных треугольников. основание равнобедренных треугольников равно 8 см сумма вершин 6 треуг. = 360 градусов Отсюда 1 вершина равна 360/6 =60 градусов. У равобедренного треугольника углы у основания равны а сумма всех углов =180 отсюда 180-60/2 = 60. значит треугольники равносторонние. отрезок (р) он же радиус = 8 см так как у равностороннего треугольника все стороны равны. сторона квадрата описаного вокруг окружности равна 2*радиус (р) 8*2 =16
1. n=6k+1, n²=(6k+1)²=36k²+12k+1, n²-1=36k²+12k=12k(3k+1). Если k чётно, то 12k делится на 24, тогда и всё произведение делится на 24. Если k нечётно, то 12(3k+1) делится на 24, тогда тоже всё произведение делится на 24.
2. n=6k+5, n²=(6k+5)²=36k²+60k+25, n²-1=36k²+60k+24=36k²+12k+48k+24=36k²+12k+24(2k+1). Последнее слагаемое делится на 24, а то, что 2 предыдущих делятся на 24, мы доказали выше. Значит, вся сумма делится на 24.
Таким образом, если n не делится на 2 и на 3, то n²-1 всегда будет делиться на 24.