Ученик не заметил знак умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. найдите эти числа
Первый случай. Пусть x, y — искомые трехзначные числа. Если к числу x приписать три нуля, то получится число 1000x, если приписать y, то получится 1000x + y. Итак, ученик написал число 1000x + y. По условию это число в семь раз больше, чем x . y. Получается равенство 7x . y = 1000x + y. Разделим обе части равенства на x: 7y = 1000 + y / x Число [t]y / x положительно и меньше 10, так как y999, x100. Поэтому 1000 < 7y < 1010. Деля это неравенство на 7, получаем 142 < y < 144. Так как y — целое число, y — либо 143, либо 144. Пусть y = 143. Подставляя это значение y в равенство, получаем: 7x . 143 = 1000x + 143. Решая это уравнение, находим x = 143. Если y = 144, то аналогичное уравнение дает x = 18, что не годится, потому что x — число из трех цифр. Второй случай. Перепишем равенство в виде 1000x = (7x - 1)y. Нетрудно видеть, что x и 7x - 1 не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1. Действительно, если d — общий делитель чисел x и 7x - 1, то d является делителем числа 7x, а значит, и делителем числа 1 = 7x - (7x - 1). Но 1 делится только на 1 и -1. Итак, число 7x - 1 — делитель произведения 1000 . x и взаимно просто со вторым множителем. Тогда, по известной теореме, число 7x - 1 — делитель числа 1000. Но 7x - 17 . 100 - 1 = 699, поэтому 7x - 1 = 1000 (единственный делитель числа 1000, больше либо равный 699 — это само число 1000), откуда x = 143. Подставляя x = 143 в исходное уравнение, находим y = 143.
Современная жизнь доставляет много проблем. Чтобы быть полезным обществу и преуспеть в жизни. нужно думать о своем здорровье. Молодые люди не понимают, что здоровье - лучшее из всех благ и его надо беречь. Они тратят его, на задумываясь о последствиях. Жизнь молодых людей не всегда легкая: много проблем с учителями, родителями, друзьями Поэтому возникают проблемы с алкоголем и наркотиками. Но они не понимают, что это иллюзия! Это не решает проблемы. На самом деле, все это загоняет их в ловушку между жизнью и смертью. Я считаю, что лучшее лекарство от всех этих проблем - это доровый образ жизни. Ведь намного лучше гулять с друзьями, устраивать походы. заниматься спортом. чем целыми днями сидеть возле компьютера. Я выбираю здоровый обаз жизни. ЧТобы быть в хорошей форме, надо правильно питаться. Пища должна быть богата витаминами, белками, протеинами. Надо есть больше фруктов и овощей. Также надо уметь чередовать время работы и отдыха. Я сделала свой выбор: я выбираю здоровый образ жизни. Мой девиз - в здоровом теле здоровый дух!
Первый случай.
Пусть x, y — искомые трехзначные числа. Если к числу x приписать три нуля, то получится число 1000x, если приписать y, то получится 1000x + y.
Итак, ученик написал число 1000x + y. По условию это число в семь раз больше, чем x . y. Получается равенство
7x . y = 1000x + y.
Разделим обе части равенства на x:
7y = 1000 + y / x
Число [t]y / x положительно и меньше 10, так как y999, x100. Поэтому
1000 < 7y < 1010.
Деля это неравенство на 7, получаем
142 < y < 144.
Так как y — целое число, y — либо 143, либо 144. Пусть y = 143. Подставляя это значение y в равенство, получаем:
7x . 143 = 1000x + 143.
Решая это уравнение, находим x = 143. Если y = 144, то аналогичное уравнение дает x = 18, что не годится, потому что x — число из трех цифр.
Второй случай. Перепишем равенство в виде 1000x = (7x - 1)y. Нетрудно видеть, что x и 7x - 1 не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1. Действительно, если d — общий делитель чисел x и 7x - 1, то d является делителем числа 7x, а значит, и делителем числа 1 = 7x - (7x - 1). Но 1 делится только на 1 и -1.
Итак, число 7x - 1 — делитель произведения 1000 . x и взаимно просто со вторым множителем. Тогда, по известной теореме, число 7x - 1 — делитель числа 1000. Но
7x - 17 . 100 - 1 = 699,
поэтому 7x - 1 = 1000 (единственный делитель числа 1000, больше либо равный 699 — это само число 1000), откуда x = 143. Подставляя x = 143 в исходное уравнение, находим y = 143.