Question

Вывести формулу последовательности путем деления многочленов с остатком: (2^(n-1)-1)/(2^h+2^k+z) n, h, k, z - целые числа, причем: n=2^h+2^k+z h=[lg(n)/lg2], k=[lg(n-2^h)/lg2] z=n-2^h-2^k, где []-оператор выделения целой части

Answer 1

Формула общего члена последовательности:

a(n) = (2^(n-1) - 1) / n. (по условию)

Здесь важно написать каковым может быть n.

Проанализируем выражения для h и k:

h = [lg(n)/lg2] - под целой частью видим формулу перехода к основанию 2:

h = [log(2)n].

Аналогично для k:

k =[log(2)(n-2^h)]

Отсюда видно, что n принадлежит области натуральных чисел, за исключением чисел   1,2, 4, 8,...2^m..., где m = 0,1,2..., то есть

m прин. {0}vN.

Распишем несколько членов последовательности для допустимых значений n:

n = 3, h = 1, k = 0, z = 0           a(n=3) = 3/3 = 1.

n = 5, h = 2, k = 0, z = 0           a(n=5) = 15/5 = 3.

n = 6, h = 2, k = 1, z = 0           a(n=6) = 31/6

n = 7, h = 2, k = 1, z = 1           a(n=7) = 63/7 = 9

n = 9, h = 3, k = 0, z = 0           a(n=9) = 255/9 = 85/3

и так далее.

Проиллюстрируем нахождение a(n) путем деления (2^(n-1)-1) на n в виде деления многочленов, записанных в двоичной системе исчисления, на некоторых примерах: (удобно, так как и делимое и делитель представляют собой комбинации степеней двойки). Разряд h постоянно растет, а разряды k и z никуда не передвигаются.

Тогда делимое (2^(n-1)-1) в двоичной записи представляет собой (n-1) единиц. А делитель - число n в двоичной записи.

Пусть n=5.

1111 | 101

101      11

 101

 101

    0

Результат: a(5) = 3.

Возьмем теперь случай деления с остатком.

Пусть n = 9.

11111111 | 1001

1001           1110

  1101

  1001

    1001

    1001

            11

Итак получили число 1110  и  11 - в остатке. В десятичной системе: 28 и 3

Значит результат деления:  28 и 3/9 = 28 и 1/3 = 85/3, что совпало с нашими предыдущими вычислениями.

Итак формула последовательности:

a(n) = (2^(n-1) - 1)/n, где n принадлежит области  N  натуральных чисел, кроме значений 2^m, где m = 0,1,2,3

P.S. Может я все-таки неверно понял задание...просто формула самой последовательности лежит на поверхности