1) Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора АВ
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 9-5; Y = 3-(-1); Z = -6-4
АВ(4;4;-10), АС(2;11;-18), АД(0;2;-7).
2) Угол а между векторами АВ и АС равен.
Модули: АВ =√(16 + 16 + 100) = √132 = 2√33.
АС = √(4 + 121 + 324) = √449
cos a = (4*2 + 4*11 + (-10)*(-18))/(√132*√449) = (8 + 44 + 180)/(59268) = 232/243,4502 = 0,952967.
а = arc cos 0,952967 = 0,307917 радиан = 17,642339 градуса.
3) Проекция вектора АД на вектор АВ.
Решение: Пр ba = (a · b)/|b|.
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · 4 + 2 · 4 + (-7) · (-10) = 0 + 8 + 70 = 78
Модуль вектора b = АВ определён и равен √132 = 2√33.
Пр ba = 78/(2√33) = 13√33 / 11 ≈ 6.78903.
4) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
Векторное произведение:
i j k
4 4 -10
2 11 -18
= i(4(-18)-11(-10)) - j(4(-18)-2(-10)) + k(4*11-2*4) = 38i + 52j + 36k.
S = (1/2)√√(38² + 52² + 36²) = (1/2)√(1444 + 2704 + 1296) = √5444 ≈ 36,89173.
5) Объем пирамиды АВСД равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.
(АВ х АС) = (38; 52; 36), АД(0;2;-7) - определено выше.
(АВ х АС) х АД = |38*0 + 52*2 + 36*(-7)| = 148
S = (1/6)*148 = 24,6667.
Пошаговое объяснение:
Площадь маленького прямоугольника внутри большого прямоугольника равна 15 м².
Пошаговое объяснение:
Надо найти площадь маленького (оранжевого) прямоугольника внутри большого.
Вспомним формулу площади прямоугольника:
, где а и b - ширина и высота прямоугольника.
Обозначим ширину искомого прямоугольника №3 - а м, высоту - b м
⇒
Тогда ширина прямоугольника №1 - (7-а) м,
а прямоугольника №2 - (8-а) м.
Высоты этих прямоугольников равны - b м.
А площади этих прямоугольников будут соответственно равны:
Для того, чтобы найти искомую площадь, надо найти ширину и высоту прямоугольника №3.
1. Выразим b из площади прямоугольника №1:
Подставим значение площади S₁ = 20 м² в полученное выражение:
2. Выразим b из площади прямоугольника №2:
Подставим значение площади S₂ = 25 м² в полученное выражение:
3. Приравняем выражения (1) и (2) и найдем а.
Воспользуемся основным свойством пропорции:
Произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Раскроем скобки. Перенесем неизвестные влево, известные вправо, поменяв знак на противоположный и решим уравнение:
⇒ ширина маленького прямоугольника равна 3 м.
4. Подставим значение а=3 в (1) или (2) равенства и найдем b.
Подставим в (1):
⇒ высота маленького прямоугольника равна 5 м.
5. Теперь, зная ширину и высоту, можем найти площадь маленького прямоугольника №3:
⇒ Площадь маленького прямоугольника равна 15 м².
К концу 16 века в России насчитывалось примерно 220 городов. Самым крупным из них была Москва, а наиболее важными и развитыми – Новгород и Вологда, Казань и Ярославль, Калуга и Тула, Астрахань и Великий Устюг. Производство было тесно связано с наличием местного сырья и носило естественно-географический характер, так, например, в Ярославле и Казани получило развитие кожевенное производство, в Вологде производилось большое количество соли, Тула и Новгород специализировались на производстве металла. В Москве велось каменное строительство, были построены Пушечный двор, Суконный двор, Оружейная палата.
Выдающимся событием в истории России 16 века было появление русского книгопечатания (в 1564 г. издана книга «Апостол»). На духовную жизнь общества большое влияние оказывала церковь. В живописи образцом было творчество Андрея Рублева, для архитектуры того времени было характерно строительство шатровых храмов (без столбов, держащихся только на фундаменте )- собор Василия Блаженного в Москве, церковь Вознесения в селе Коломенском, церковь Иоанна Предтечи в селе Дьяково.
16 век в истории России – это век правления «талантливого злодея» Ивана Грозного.
В конце 15-начале 16 века правил Иван III, правнук Дмитрия Донского (1462-1505). Он назвал себя «Государем всея Руси» или «кесарем». Принял на Руси двуглавого орла. Две головы орла говорили о том, что Россия повернута на Восток и на Запад, и одной могучей лапой орел стоит в Европе, а второй в Азии.
Иван III считал, что Москва должна стать третьим Римом, и вокруг нее должны объединиться все русские земли, которые входили ранее в состав Киевской Руси.
В 1497 г. Иван III издает первый русский Судебник- свод основных законов Руси. В Судебнике закреплялось положение крестьянства (крестьяне имели право поменять местожительство на Юрьев день (26 ноября), но фактически крестьяне были прикреплены к земле. За уход от землевладельца надо было платить «пожилое» - плату за прожитые годы. Она составляла около рубля, но т.к. за рубль в 15-16 веке можно было купить 14 пудов меда, то собрать его было нелегко. Судебник устанавливал, как крестьянин становится крепостным (взяв деньги в долг, должнику нужно было отрабатывать проценты до смерти господина), т.е. в 16 веке почти все крестьяне становятся крепостными.
Иван III сверг монголо-татарское владычество (1480) и сделал это как опытный политик. Он прекратил междоусобицы на Руси, создает профессиональную армию. Так, появляется кованая рать- пехота, одетая в металлические доспехи; артиллерия (русские пушки «Единорог» были лучшими на протяжении трехсот лет); пищальщики (пищали – огнестрельное оружие, но било оно недалеко, максимум на 100 м).
Иван III преодолевал феодальную раздробленность Руси. Новгородская республика вместе с Московским княжеством оставалась независимым образованием, но в 1478 г. ее независимость была ликвидирована, в 1485 г. к Русскому государству была присоединена Тверь, а в 1489 году -Вятка.
В 1510 г. в княжение сына Ивана III, Василия III(1505-1533) прекратила существование Псковскаяреспублика, а в 1521 г.- Рязанское княжество. Объединение русских земель при Василии III было в основном завершено. По словам немецкого посла, никто из западноевропейских монархов не мог сравниться с московским государем в полноте власти над подданными. Ну а внук Ивана III более, чем кто либо в великокняжеской семье, заслужил свое прозвище- Грозный.