2)
Доказательство "⇒".
Пусть у нас дано A⊂B∩C, докажем тогда, что
2.1) A⊂B
и
2.2) A⊂C.
2.1) x∈A⊂B∩C, ⇒ x∈B∩C⊂B, ⇒ x∈B. чтд.
2.2) x∈A⊂B∩C, ⇒ x∈B∩C⊂C, ⇒ x∈C. чтд.
Доказательство "<=".
Пусть у нас дано A⊂B и A⊂C. Докажем тогда, что
A⊂B∩C.
Пусть x∈A, тогда по условию (A⊂B и A⊂C), имеем
x∈B и x∈C, ⇔ x∈B∩C. чтд.
3)
Доказательство "⇒".
Пусть у нас дано A∩B⊂C. Докажем тогда, что
Пусть x∈A. Тут возможны два варианта: x∈B либо x∉B.
Первый случай: x∈A и x∈B, ⇔ x∈A∩B⊂C, ⇒ x∈C⊂ 
, ⇒
⇒ 
Второй случай: x∈A и x∉B, ⇒ x∈A и 
, ⇒
⇒ 
, ⇒
⇒ 
, ⇒
⇒
чтд.
Доказательство "<=".
Пусть у нас дано . Докажем тогда, что
.
Пусть x∈A∩B ⊂A, ⇒ x∈A⊂ , ⇒
⇒ , ⇒ или 
Первый случай: , ⇔ x∉B. Но у нас x∈A∩B⊂B, то есть x∈B. То есть имеем x∉B и x∈B, ⇒ x∈∅⊂C, ⇒ x∈C.
Второй случай: x∈C. То есть требуемое уже доказано. чтд.
