Лемма ученика 57 школы: 1+2+4+8+...+2^n= 2^(n+1)-1
Докажем по индукции:
База:
1 = 2-1
1+2 = 3 = 4-1
Шаг:
пусть для какого-то i верно, что 1+2+4+8+...+2^i=2^(i+1)-1
тогда 1+2+4+8+...+2^i+2^(i+1)=2^(i+1)+2^(i+1)-1=2^(i+2)-1
ч.т.д.
Теперь заметим, что если у нас есть 2^101 монет, то нам потребуется 101 взвешивание т.к. за 1 взвешивание мы отсекаем не больше половины монет.
Теперь заметим, как мы сможем взвесить 2^100+2^99+2^98++2+1
Взвесим первые 2^100 монет, разбив их на 2 кучки.
Если кучки весят одинаково(все монеты настоящие), то берем следующие 2^99, 2^98, и т.д.
Если первые 2+4+8+...2^100 монет настоящие, то последняя монета - фальшивая. пусть на i шаге нашлась кучка из 2^(100-i) монет, среди которых есть ненастоящяя. тогда у нас есть еще (100-i) взвешиваний, и мы сможем определить фальшивую монету.
По лемме ученика 57 школы 1+2++2^100= 2^101-1
а 2^101 монет быть не может.
ответ:2^101-1
1)(x+1)^2=x^2+2x+1 1)(6-d)^2=36-12d+d^2
2)(a-3)^2=a^2-6a+9 2)(7+g)^2=49+14g+g^2
3)(y+3)^2=y^2+6y+9 3)(8-h)^2=64-16h+h^2
4)(b-4)^2=b^-8b+16 4)(9+k)^2=81+18k+k^2
5)(c+5)^2=c^2+10c+25 5)(10-m)^2=100-20m+m^2
6)(t-16)^2=t^2-32t+256 6)(n+11)^2=n^2+22n+121
7)(17+u)^2=199+34u+u^2 7)(p-12)^2=p^2-24p+14
8)(18-v)^2=664-36v+v^2 8)(q+13)^2=q^2+26q+169
9)(19+w)^2=361+38w+w^2 9)(r-14)^2=r^2-28r+196
10)(20-z)^2=400-40z+z^2 10)(s+15)^2=s^2+30s+225
11)(n+11)^2=n^2+22n+121 11)(n+12)^2=n^2+24n+144
12)(2x+y)^2=2x^2+4xy+y^2 12)(3x+y)^2=3x^2+6xy+y^2
13)(3a-b)^2=3a^2-6ab+b^2 13)(4a-b)^2=4a^2-8ab+b^2
14)(4c+2)^2=4c^2+16c+4 14)(4c+5)^2=4c^2+40c+25
15)(5d-3)^2=5d^2-30d+9 15)(6d-3)^2=6d^2-36d+9
16)(6h+4)^2=6h^2+48h+8 16)(2h+5)^2=2h^2+20h+25
х=145-115+35
х=65
2)168-98-z=65
z=5
3)853+у-53=900
у=100
4)s+275-275=384
s=384