Результаты исследования графика функции y=5x / (4-x^2)
Область определения функции. ОДЗ: Точки, в которых функция точно неопределена:x=2.00, x=-2.00
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 5*x/(4-x^2). Результат: y=0. Точка: (0, 0)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:5*x/(4-x^2) = 0 Решаем это уравнение здесь и его корни будут точками пересечения с X: x=0. Точка: (0, 0). Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=10*x^2/(-x^2 + 4)^2 + 5/(-x^2 + 4)=0 Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:Нет решения. Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, + нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=40*x^3/(-x^2 + 4)^3 + 30*x/(-x^2 + 4)^2=0lim y'' при x->+2.00 (если эти пределы не равны, то точка x=2.000 - точка перегиба)
lim y'' при x->+-2.00 (если эти пределы не равны, то точка x=-2.000 - точка перегиба) Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=0. Точка: (0, 0)x=2.00. Точка: (2.00, ±oo)x=-2.00. Точка: (-2.00, ±oo. Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: [0, oo)Выпуклая на промежутках: (-oo, 0] Вертикальные асимптоты Есть: x=2.00 , x=-2.00. Горизонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim 5*x/(4-x^2), x->+oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0 lim 5*x/(4-x^2), x->-oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 Наклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :lim 5*x/(4-x^2)/x, x->+oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой слева lim 5*x/(4-x^2)/x, x->-oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой справа. Четность и нечетность функции:Проверим функцию четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:5*x/(4-x^2) = -5*x/(-x^2 + 4) - Нет 5*x/(4-x^2) = -(-5*x/(-x^2 + 4)) - Да, значит, функция является нечётной
