Question

Не понимаю как решить: найти cos x, ctg x, если х=22 градуса 30 минут.

Answer 1

$x = 22\°30' = 22,5\° = \frac{45\°}{2} \\ \\ cos22,5\° = ? \\ \\ ctg22,5\° = ?$

Замечаем, что 22,5° - это половинка 45°, синус и косинус которого хорошо известны:
$sin45\° = cos45\° = \frac{ \sqrt{2} }{2}$
Поэтому воспользуемся формулами двойного угла косинуса, который выражается через одинарный угол синуса или косинуса:
$cos2 \alpha = 2 cos^2 \alpha - 1 = 1 - sin^2 \alpha$
Или формулы понижения степени:
$cos^2 \alpha = \frac{1+cos2 \alpha }{2} \\ \\ sin^2 \alpha = \frac{1-cos2 \alpha }{2}$

1) Найдём cos 22,5°:
$cos 22,5\° = \sqrt{ \frac{1+cos(2* 22,5\°) }{2} } = \sqrt{ \frac{1+cos45\° }{2} } = \\ \\ \sqrt{ \frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2} } = \sqrt{ \frac{2+ \sqrt{2} }{4} } = \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2} \approx 0,924$

2) Найдём ctg 22,5°:
Косинус у нас найден, вычислим синус:
$sin 22,5\° = \sqrt{ \frac{1-cos(2* 22,5\°) }{2} } = \sqrt{ \frac{1-cos45\° }{2} } = \\ \\ \sqrt{ \frac{1- \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2} } = \sqrt{ \frac{2- \sqrt{2} }{4} } = \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2} \approx 0,383$
Находим котангенс:
$ctg22,5\° = \frac{cos22,5\°}{sin22,5\°} = \frac{\frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2} } }{2} }{\frac{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }{2} } =$

$= \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2}} }{ \sqrt{2- \sqrt{2} } } = \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{2}} }{ \sqrt{2- \sqrt{2} } }* \frac{ \sqrt{2- \sqrt{2}} }{ \sqrt{2- \sqrt{2} } } = \\ \\ \\ = \frac{ \sqrt{4-2} }{2- \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2- \sqrt{2}} \approx 2,414$