Question

Прямые 5x-3y+14=0 и 5x-3y-20=0 служат сторонами ромба, а прямая x-4y-4=0 его диагональю, составить уравнение других сторон ромба,сделать чертеж.

Answer 1

Прямые 5x-3y+14=0 и 5x-3y-20=0 параллельны.Найдем точки пересечения этих прямых и диагонали
$1) \left \{ {{5x-3y+14=0} \atop {x-4y-4=0}} \right.$
умножим второе на (-5) и сложим с первым
$\left \{ {{5x-3y+14=0} \atop {-5x+20y+20=0}} \right.$
17у+34=0  ⇒    у=-2      тогда    х=4у+4=4·(-2)+4=-4
Назовем точку
А(-4;-2)
$2) \left \{ {{5x-3y-20=0} \atop {x-4y-4=0}} \right.$
умножим второе на (-5) и сложим с первым
$\left \{ {{5x-3y-20=0} \atop {-5x+20y+20=0}} \right.$
17у=0  ⇒    у=0     тогда    х=4у+4=4·0+4=4
Эта точка С(4;0)- она противоположна точке А
Найдем координаты середины отрезка АС
О(0;-1)
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам.
Уравнение второй диагонали запишем как уравнение прямой, перпендикулярной х-4у-4=0
или    у=(1/4)х-1.
Известно, что угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых при умножении дают -1:
у=-4х+b - общий вид прямых, перпендикулярных х-4у-4=0
Для нахождения b подставим координаты точки О:
-1=-4·0+b  ⇒  b=-1
y=-4x-1    или  4х+у+1=0 - уравнение второй диагонали
Найдем точки пересечения данных прямых с этой диагональю
$1) \left \{ {{5x-3y+14=0} \atop {4x+y+1=0}} \right.$
умножим второе на (3) и сложим с первым
$\left \{ {{5x-3y+14=0} \atop {12x+3y+3=0}} \right.$
17х+17=0  ⇒    x=-1      тогда    y=-4x-1=-4·(-1)-1=-1=3
Назовем точку
B(-1;3)
$2) \left \{ {{5x-3y-20=0} \atop {4x+y+1=0}} \right.$
умножим второе на (3) и сложим с первым
$\left \{ {{5x-3y-20=0} \atop {12x+3y+3=0}} \right.$
17x-17=0  ⇒    x=1     тогда    y=-4x-1=-4·1-1=-5
Эта точка D(1;-5)- она противоположна точке B
Уравнение стороны ВС находим по формуле для составления уравнения прямой, проходящей через две точки:
$\frac{x-x_C}{x_B-x_C}= \frac{y-y_C}{y_B-y_C}$
$\frac{x-4}{-1-4}= \frac{y-0}{3-0}$
$\frac{x-4}{-5}= \frac{y-0}{3}$
3(x-4)=-5y  ⇒3x+5y-12=0
Уравнение стороны AD находим по формуле для составления уравнения прямой, проходящей через две точки:
$\frac{x-x_D}{x_A-x_D}= \frac{y-y_D}{y_A-y_D}$
$\frac{x-1}{-4-1}= \frac{y+5}{-2+5}$
$\frac{x-1}{-5}= \frac{y+5}{3}$
3(x-1)=-5(y+5)  ⇒3x+5y+22=0