Question

1.составить уравнение гиперболы,фокусы которой лежат на оси абсцисс,симметрично относительно начала координат,если известно гипербола проходит через точку а(6,9),ее асимптоты y=(плюсминус)5/3x 2. две стороны квадрата лежат на прямых 3x+4y+22=0 и 3x+4y-13+0.вычислите его площадь.

Answer 1

Задача1.
 Каноническое уравнение гиперболы
$\frac{ x^{2} }{a ^{2} } - \frac{y ^{2} }{b ^{2} }=1, \\ b ^{2}=c ^{2}-a ^{2}$
При этом ось ох проходит через фокусы.
Прямые у=±bx/a-  асимптоты гиперболы.
Значит,
$\frac{b}{a}= \frac{5}{3}\Rightarrow b= \frac{5}{3}a$
Уравнение гиперболы примет вид
$\frac{ x^{2} }{a ^{2} } - \frac{y ^{2} }{( \frac{5}{3}a) ^{2} }=1,$
для нахождения а  подставим координаты точки А(6;9) в последнее уравнение
$\frac{ 6^{2} }{a ^{2} } - \frac{9 ^{2} }{( \frac{5}{3}a) ^{2} }=1,$
$\frac{ 36 }{a ^{2}} - \frac{81\cdot9 }{25a ^{2} }=1, \\ \frac{ 36 \cdot 25}{25a ^{2}} - \frac{81\cdot9 }{25a ^{2} }=1,$
25a²=171
$a ^{2}= \frac{171}{25} , \\ b ^{2}= \frac{25}{9}\cdot \frac{171}{25}= \frac{171}{9}$
Уравнение гиперболы  принимает вид:
$\frac{ x^{2} }{ \frac{ (\sqrt{171} }{5}) ^{2} } - \frac{y ^{2} }{ \frac{(\sqrt{171} }{3}) ^{2} }=1$
Задача 2.
Прямые 3x+4y+22=0 и 3x+4y-13=0 параллельны.
Сторона квадрата равна расстоянию между этими прямыми
Напишем уравнение такой прямой
Прямая перпендикулярная данным будет иметь вид:
$y= \frac{4}{3}x+b$
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Для нахождения b подставим координаты точки О:
0=0+b  ⇒  b=0
Итак, прямая задана уравнением
$y= \frac{4}{3}x$
Найдем точки пересечения этой прямой с данными
$1) \left \{ {{3x+4y+22=0} \atop {y= \frac{4}{3}x}} \right. \Rightarrow \left \{ {{3x+4\cdot \frac{4}{3}x+22=0} \atop {y= \frac{4}{3}x}}} \right. \Rightarrow \left \{ {{ \frac{25}{3}x =-22} \atop {y= \frac{4}{3}x}}}} \right. \\ x=- \frac{66}{25}, \\ y=- \frac{88}{25}$
Получили точку $M(- \frac{66}{25}; -\frac{88}{25})$
$2) \left \{ {{3x+4y-13=0} \atop {y= \frac{4}{3}x}} \right. \Rightarrow \left \{ {{3x+4\cdot \frac{4}{3}x-13=0} \atop {y= \frac{4}{3}x}}} \right. \Rightarrow \left \{ {{ \frac{25}{3}x =13} \atop {y= \frac{4}{3}x}}}} \right. \\ x= \frac{39}{25}, \\ y= \frac{52}{25}$
Получили точку $N( \frac{39}{25}; \frac{52}{25})$
Найдем |MN|
$|MN|= \sqrt{(x_N-x_M) ^{2} +( y_N-y_M) ^{2}} = \sqrt{( \frac{39}{25}+ \frac{66}{25}) ^{2} +( \frac{52}{25}+ \frac{88}{25}) ^{2}}= \\ = \sqrt{( \frac{105}{25}) ^{2} +( \frac{140}{25})^{2}}= \frac{175}{25}=7$
S(квадрата)=7²=49