Question

Составить уравнение места точек равноудалённых от точки а(-2,5) и данной прямой у= -1 полученное уравнение к нормальному виду и построить кривую

Answer 1

Геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки (фокуса) и от одной прямой (директрисы) - это парабола.

Итак, мы знаем, что фокус параболы A(-2; 5), а директриса L: y + 1 = 0

Пусть текущая точка параболы имеет координаты M(x; y).

Тогда расстояние от точки М до прямой L:

$S1=\frac{A*X + B*Y + C}{\sqrt{A^2+B^2}} =\frac{0*x + 1*y + 1}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{y+1}{\sqrt{1^2}} =y+1$

Расстояние между точкой A и точкой M:

$S2=\sqrt{(X(A) - X)^2+(Y(A) - Y)^2} =\sqrt{(-2-X)^2+(5-Y)^2}$

И эти расстояния одинаковы по условию:

$y+1 = \sqrt{(x+2)^2 + (y-5)^2}$

(y+1)^2 = (x+2)^2 + (y-5)^2

(x + 2)^2 = (y + 1)^2 - (y - 5)^2 = (y + 1 - y + 5)(y + 1 + y - 5) = 6(2y - 4)

(x + 2)^2 = 12(y - 2)

Собственно, это и есть уравнение параболы в каноническом виде.

Можно перевести в более привычный для школьников вид:

12y = (x + 2)^2 + 24 = x^2 + 4x + 4 + 24

y = (x^2 + 4x + 28)/12

y = x^2/12 + x/3 + 7/3