Question

Доказать, что если четное число n не делится на 3 и 4, то n5 - 5n3 + 4n делится на 1440 кто знает правильный ответ пишите быстрее мне ужасно надо.

Answer 1

1440=2*2*2*2*2*3*3*5
$n^{5}-5n^{3}+4n=n( n^{4}-5 n^{2}+4)=n( n^{2}-4)(n^{2}-1)=$
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
поищем множители числа 1440..
пять двоек:
n - четно, но не делится на 4 (значит с него одна 2 есть)
n-1 и n+1 -нечетные
n-2 и n+2 четные, и в отличии от n делятся на 4=2*2, значит с них по 2 двойки
всего получили 5 двоек, что и надо было
две тройки:
n не делится на 3, значит на 3 делится либо n+1 и n-2, либо n+2 и n-1
итак получили, что два множителя на 3 делятся .. то есть 2 троечки в пройзведение
пятерочка:
у нас произведение 5 последовательных чисел, одно из них точно делится на 5

Итог: все делители числа 1440 присутствуют в заданном числе, при заданных условиял, значит 1440 является делителем данного числа
ЧТД