Question

Решите уравнение sin2x-2(sinx+cosx)-1=0.

Answer 1

Замена переменной
sin x+ cos x= t
Возведем в квадрат
sin² x + 2 sinx·cosx + cos²x=t²  ⇒ 1+sin2x=t²  ⇒  sin 2x=t²-1
Уравнение принимает вид:
t²-1-2t-1=0
t²-2t-2=0
D=4-4·(-2)=12
t₁=(2-2√3)/2      или     t₂=(2+2√3)/2
t₁=1-√3      или    t₂=1+√3
Возвращаемся к переменной x:

1)sinx+cosx=1-√3
  Применяем формулу дополнительного угла.
   √2·sin(x+(π/4))=1-√3
$sin(x+ \frac{ \pi }{4} )= \frac{1- \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } \\x+ \frac{ \pi }{4} =(-1) ^{k}arcsin\frac{1- \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }+ \pi k,k\in Z \\ x=-\frac{ \pi }{4} +(-1) ^{k}arcsin\frac{1- \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }+ \pi k,k\in Z$
   2)sinx+cosx=1+√3
  Применяем формулу дополнительного угла.
   √2·sin(x+(π/4))=1+√3
$\frac{1+ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } 1$
Уравнение не имеет решений